ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

単調増加するときのみを考える。

$a = \sup \{a_n\}$ とおく。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$ を示す。

$a$ は上限であるため，任意の $\varepsilon > 0$ に対して，ある $N$ が存在して $a - a_N < \varepsilon$ となる。

加えて $a \geqq a_N$ より $a - a_N \geqq 0$ である。

$\{ a_n \}$ は単調増加であるため，$n > N$ において $$0 \leqq a - a_n \leqq a - a_N < \varepsilon$$ となる。つまり，$|a_n - a| < \varepsilon$ となるため，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$ が示された。

自然数 $N$ に対して，性質 $\ast$ を次のように定める。

$\ast$ ： $n > N$ なる任意の自然数に対して $a_N > a_n$

1. $\ast$ を満たす自然数が無限個存在するとき

$\ast$ を満たす自然数 $N_1$ に対して，同じく $\ast$ を満たす自然数 $N_2 (> N_1)$ を取ることができる。$\ast$ から $a_{N_1} > a_{N_2}$ である。

$N_2$ に対しても同様に $N_3$ を取ることで $a_{N_2} > a_{N_3}$ とできる。

こうして帰納的に $\ast$ を満たす自然数 $N_i$ を無限に取ると，部分列 $\{a_{N_i}\}$ は単調に減少する部分列である。

2. $\ast$ を満たす自然数が有限個のとき

$\ast$ を満たす最大の自然数を $N$ とする。

$N_1 > N$ を取ると $N_1$ は $\ast$ を満たさないため，ある $N_2 > N_1$ があって $a_{N_1} \leqq a_{N_2}$ である。$N_2$ に対しても同様に $N_3$ を取ることで $a_{N_2} \leqq a_{N_3}$ とできる。

以下帰納的に $N_i$ を取ることで単調に増加する部分列 $\{a_{N_i}\}$ を得る。

仮定から $\{a_n\}$ は有界であるため，その部分列も有界である。こうして単調収束定理から 1，2で得た部分列が収束値を持つことが従い，証明が完了する。

$\{a_n\}$ は有界であるため，上限と下限が存在する。それぞれ $M_0,m_0$ とおく。$I_0 = [m_0,M_0]$ とおく。

$x_1 = \dfrac{M_0+m_0}{2}$ とする。$I_0$ は2つの区間 $[m_0,x_1],[x_1,M_0]$ に分かれる。このうち少なくとも一方の区間は $\{a_n\}$ の元を無限個含む。そのような区間を $I_1$ とおき，端点を $m_1,M_1 \; (m_1 < M_1)$ とおく。

同様にして帰納的に $I_n$ を定める。 すると， $$\begin{aligned} M_n - m _n &= \dfrac{M_{n-1} - m_{n-1}}{2}\\ &= \dfrac{M_0-m_0}{2^n} \end{aligned}$$ より $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (M_n - m_n) &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{M_0-m_0}{2^n}\\ &= 0 \end{aligned}$$ よって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} m_n$ となる。この値を $a$ とおく。

さて，$\{a_n\}$ の部分列 $\{a_{n_i}\}$ を $i=1$ から順に $a_{n_i} \in I_{i}$ となるように（そして $n_i$ が単調増加になるように）取る。

このとき $m_i < a_{n_i} < M_i$ であるので，はさみうちの原理から $\displaystyle \lim_{i \to \infty} a_{n_i} = a$ となり，収束部分列を構成できた。