ロルの定理，平均値の定理とその証明

• $f(x)$ が区間内で定数関数のとき

$a < c < b$ なる任意の $c$ で $f'(c)=0$ となりOK

• $f(a) < f(t)$ なる $t$ が存在するとき

最大値の定理より，$a < c < b$ で $f(c)$ が最大となるような $c$ が存在する。このとき $f'(c)=0$ を証明する。$f(x)$ が $x=c$ で微分可能であることと $f(c)\geq f(c+h)$ より，

$f'(c)=\displaystyle\lim_{h\to +0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0$

$f'(c)=\displaystyle\lim_{h\to -0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0$

つまり $f'(c)=0$

• $f(a) > f(t)$ なる $t$ が存在するときも同様（最小値を考える）

おもむろに関数 $g(x)=f(x)+Ax$ を考えてみる。$g(a)=g(b)$ となるような $A$ を探す：

$f(a)+Aa=f(b)+Ab$

$A=-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

つまり，$g(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}x$ という関数は $g(a)=g(b)$ を満たす。よってロルの定理が使えて，$a <c <b$ なる $c$ で $g'(c)=0$ を満たす $c$ が存在する。

$g'(c)=f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ であるので平均値の定理は示された。