平均値の定理とは？意味・証明と入試応用例まで解説

$$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$ の左辺は点 $(a,f(a))$ と $(b,f(b))$ を結ぶ直線の傾き，右辺は $x=c$ における接線の傾きです。

図では，赤い直線と紫の直線が平行になる点が区間の途中にあります。ただし，$c$ がただ一つとは限りません。定理が保証するのは「少なくとも一つ存在する」ことです。

また，端点で微分可能である必要はありません。$[a,b]$ で連続，$(a,b)$ で微分可能という二つの条件と，$a<b$ を確認してから使います。

$a=1,b=3,f(x)=x^2$ とすると，$f'(x)=2x$ です。平均値の定理によって $$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4=f'(c)=2c$$ となる $c$ が $1<c<3$ に存在します。実際に $c=2$ です。

この例では $c$ を計算できましたが，一般には値を求めなくても「そのような $c$ がある」ことを使って不等式を示せます。

使い方の基本は，差 $f(b)-f(a)$ を見つけ， $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\quad(a<c<b)$ と置き換えることです。次に，区間 $(a,b)$ で $f'(x)$ がどの範囲にあるかを調べます。

たとえば $m\leqq f'(x)\leqq M$ が区間 $(a,b)$ で成り立てば，$b-a>0$ より $$m(b-a)\leqq f(b)-f(a)\leqq M(b-a)$$ です。以下では，この考え方を入試問題に適用します。

1. 不等式の証明

$f(b)-f(a)$ という形があるときは，平均値の定理を検討しましょう。次は2001年名古屋大学理系第1問です。

左辺全体を $f(q)-f(p)$ と見抜き，導関数 $f'(c)$ の上限を調べるのが解法の中心です。合成関数の微分公式も参照してください。

2. 漸化式で表される数列の極限

$a_{n+1}=f(a_n)$ で，$f(\alpha)=\alpha$ なら，平均値の定理から $$a_{n+1}-\alpha=f'(c_n)(a_n-\alpha)$$ と表せます。途中の点 $c_n$ で $|f'(c_n)|\leqq k<1$ なら，$|a_{n+1}-\alpha|\leqq k|a_n-\alpha|$ です。この縮小を繰り返して極限を示します。

次は2005年東京大学理系第3問です。

この問題では，導関数の評価に加え，数列の各項が $\dfrac12$ より大きい範囲にとどまることを確かめる必要があります。漸化式で表される数列の極限も参照してください。

証明にはロルの定理を使います。ロルの定理とは，$h$ が $[a,b]$ で連続，$(a,b)$ で微分可能で，$h(a)=h(b)$ ならば，$h'(c)=0$ を満たす $a<c<b$ が存在するという定理です。

ロルの定理自体の証明を含む説明はロルの定理，平均値の定理とその証明をご覧ください。

$f'(x)>0$ が区間内のすべての点で成り立つなら，その区間の $a<b$ に対して $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)>0$ です。つまり $f$ は単調増加します。また $f'(x)=0$ が区間内で常に成り立つなら，任意の $a<b$ で $f(b)=f(a)$ となり，$f$ は定数関数です。単調増加・単調減少の意味と覚えておくべき性質も参照してください。

ラグランジュの平均値の定理を発展させると，コーシーの平均値の定理やテイラーの定理とテイラー展開につながります。

ロルの定理と平均値の定理の違いは？

ロルの定理は両端の関数値が等しい場合です。このとき割線の傾きは $0$ であり，平均値の定理は途中で $f'(c)=0$ となることを述べます。

$c$ は区間の真ん中ですか？

一般には違います。$f(x)=x^2$ では $c=(a+b)/2$ ですが，関数によって場所は変わり，複数存在することもあります。

どんな問題で使いますか？

関数値の差を導関数で評価する不等式や，$a_{n+1}=f(a_n)$ 型の漸化式の極限で役立ちます。まず適用区間で連続性と微分可能性を確認しましょう。

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