平均値の定理の意味・証明・応用例題２パターン

$f(x)=\log(\log x)$ とおくと，証明すべき不等式は，

$\dfrac{f(q)-f(p)}{q-p} <\dfrac{1}{e}$

となる。ここで平均値の定理より，

（左辺）$=f'(c)$ となる $c$ が $p$ と $q$ の間に存在する。

実際，合成関数の微分公式を用いて $f(x)$ の導関数を計算すると $f'(x)=\dfrac{1}{x\log x}$ であるので，証明すべき不等式は，

$c\log c > e$ となる。

ここで $g(x)=x\log x$ について考えると，$g'(x)=1+\log x$ より $x\geq e$ では $g(x)$ は単調増加。よって，$e <c$ より $g(e) <g(c)$ ，つまり $c\log c > e$ を得る。

$f(1)=1$ に注意する。平均値の定理より，( $x_n\neq 1$ のもとで)

$\dfrac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}=f'(c)$ となる $c$ が $1$ と $x_n$ の間に存在する。

よって，（1）と合わせると「 $x_n > \dfrac{1}{2},\:x_n\neq 1$ 」のもとで

$|x_{n+1}-1| <\dfrac{1}{2}|x_n-1|$

この不等式が得てしまえばあとは簡単。

・ $x_0=1$ のとき，数列 $\{x_n\}$ の各項は全て $1$ なのでOK。

・ $x_0\neq 1$ のとき，数列 $\{x_n\}$ の各項は「 $x_n > \dfrac{1}{2},\:x_n\neq 1$ 」を満たす（数学的帰納法で簡単に証明できる）ので，上記の不等式を繰り返し適用できる：

$|x_n-1| <\dfrac{1}{2^n}|x_0-1|$

ここで $n\to\infty$ とすると，右辺 $\to 0$ なので $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1$ を得る。