単調増加・単調減少の意味と覚えておくべき性質

単調増加・単調減少の意味

関数 $y=f(x)$ について，

• $x$ が増えれば $y$ も増えるとき，その関数は単調増加と言います。
• グラフが右上がりになるような関数です。
• 式で書くと，
  $x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)\leq f(x_2)$
  を満たすような関数です。

単調減少も同様です。

• $x$ が増えれば $y$ が減るとき，その関数は単調減少と言います。
• グラフが右下がりになるような関数です。
• 式で書くと，
  $x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)\geq f(x_2)$
  を満たすような関数です。

広義と狭義

より正確には，単調増加には「広義」と「狭義」の2種類があります。

• 広義単調増加： $x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)\leq f(x_2)$
• 狭義単調増加： $x_1 < x_2$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$

等号を含むかどうかの違いです。広義は「広い意味」→「等号も増加とみなす」という立場です。狭義は「狭い意味」→「等号は増加とみなさない」という立場です。

• 「広義」「狭義」を省略して，単に「単調増加」「単調減少」と言うことも多いです。文脈からどちらを表すのか判断する必要があります。
• 広義単調増加は「単調非減少」と言うこともあります。

減少についても同様です。

考えている区間による

関数の単調性は，考えている区間によります。

ここまでの内容をふまえて，単調増加についてきちんと定義を述べておきます。

減少についても同様です。

数列の単調増加，単調減少

ここまでは関数について考えましたが，数列 $\{a_n\}$ についても同様です。

• $n$ が増えれば $a_n$ が増えるとき，その数列は単調増加と言います。
• 式で書くと（考えている区間で）$n_1 < n_2$ ならば $a_{n_1}\leq a_{n_2}$ を満たすとき，$a_n$ は（その区間内で）広義単調増加，と言います。

数列の広義単調減少，狭義単調増加，狭義単調減少も同様に定義されます。

単調増加・単調減少に関連する性質

単調増加に関連する性質を紹介します。減少についても同様です。性質2までは確実に覚えておきましょう。

つまり，導関数がプラスなら増加，マイナスなら減少というわけです。微分係数が接線の傾きを表していることを考えれば納得できる事実ですが，一応証明しておきましょう。

狭義単調増加なら，$f(x_1)=f(x_2)$ となる相異なる $x_1,x_2$ は存在しません（単射）。よって，逆関数を考えることができます。→逆関数の３つの定義と使い分け

同じく，狭義単調減少でも逆関数が存在します。

これは実数の公理の1つと考えることもできますし，定理と考えることもできます。例えば自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明に登場します。