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ベクトル方程式の公式一覧

更新日時 2021/03/07

ベクトル方程式の公式をまとめました。全て丸暗記する必要はありませんが,◯◯のベクトル方程式は?と聞かれたときにすぐに立式できるようになっておきましょう。

目次
  • 直線のベクトル方程式

  • 平面のベクトル方程式

  • 円,球のベクトル方程式

  • 楕円,双曲線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式

  • 二点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} を通る直線のベクトル方程式は, pundefined=taundefined+(1t)bundefined\overrightarrow{p}=t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}

  • aundefined\overrightarrow{a} を通り,方向ベクトルが uundefined\overrightarrow{u} であるような直線のベクトル方程式は, pundefined=aundefined+tuundefined\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}

  • aundefined\overrightarrow{a} を通り,法線ベクトルが nundefined\overrightarrow{n} であるような直線のベクトル方程式は, (pundefinedaundefined)nundefined=0(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0

  • 線分 ABAB の垂直二等分線のベクトル方程式は(A(aundefined),B(bundefined)A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}) として) (bundefinedaundefined)(pundefinedaundefined+bundefined2)=0(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \left(\overrightarrow{p}-\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\right)=0

  • 中心が aundefined\overrightarrow{a} である円上の点 bundefined\overrightarrow{b} における接線のベクトル方程式は, (pundefinedbundefined)(aundefinedbundefined)=0(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=0

平面のベクトル方程式

  • 三点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b}cundefined\overrightarrow{c} を通る平面のベクトル方程式は, pundefined=saundefined+tbundefined+(1st)cundefined\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-s-t)\overrightarrow{c}

  • aundefined\overrightarrow{a} を通り,法線ベクトルが nundefined\overrightarrow{n} であるような平面のベクトル方程式は, (pundefinedaundefined)nundefined=0(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{n}=0

円,球のベクトル方程式

  • 二次元平面において,中心 aundefined\overrightarrow{a} で半径 rr の円のベクトル方程式は, pundefinedaundefined=r|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r

  • 三次元空間において,中心 aundefined\overrightarrow{a} で半径 rr の球面のベクトル方程式は, pundefinedaundefined=r|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=r

  • 二次元平面において,二点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} を直径の両端とする円のベクトル方程式は, (pundefinedaundefined)(pundefinedbundefined)=0(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0

  • 三次元空間において,二点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} を(一つの)直径の両端とする球面のベクトル方程式は, (pundefinedaundefined)(pundefinedbundefined)=0(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0 →球面の方程式のいろいろな表現と具体例

楕円,双曲線のベクトル方程式

  • 二点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} を焦点とし,焦点からの距離の和が 2r2r である楕円のベクトル方程式は, pundefinedaundefined+pundefinedbundefined=2r|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=2r

  • 二点 aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} を焦点とし,焦点からの距離の差が 2r2r である双曲線のベクトル方程式は, pundefinedaundefinedpundefinedbundefined=±2r|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|=\pm 2r

他にも追加すべきものがあればご一報ください。

Tag:数学Bの教科書に載っている公式の解説一覧

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