条件付き確率の意味といろいろな例題

更新 2024/07/28

条件付き確率の意味をわかりやすく説明します，いろいろな例題（サイコロ，男の子か女の子か問題，病気の検査の問題）を紹介します。

条件付き確率の定義と意味

「事象 $A$ が起きた」と分かったもとでの事象 $B$ が起こる確率を条件付き確率と言い， $P(B\mid A),P_A(B)$ などと書きます。
数式による定義は， $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ です。ベン図を見ると理解しやすいです。
全事象を $U$ とし， $A$ に属する場合の数を $|A|$ などと書くと $P(A)=\dfrac{|A|}{|U|},\:P(A\cap B)=\dfrac{|A\cap B|}{|U|}$ なので，条件付き確率は $P(B \mid A)=\dfrac{|A\cap B|}{|A|}$ と書くこともできます。

※私が条件付き確率を初めて学んだとき，定義は分かるけどだから何なの〜？って思いました。条件付き確率の意味，イメージをつかむには具体例が一番です。そこで，以下では3つの例題を通じて条件付き確率の理解を目指します。

最初は簡単な例ですが，条件付き確率の考え方を理解するのに役立ちます。

例題1

（平等な）サイコロを1つ振った。出目を見逃してしまったが，友人が出目は偶数だと教えてくれた。このとき出目が $4$ 以上であった確率を求めよ。

注：直感的にすぐ $\dfrac{2}{3}$ だと分かる人もいると思います。条件付き確率の定義に従ってきちんと答えてみます。

解答

とするとき，求める確率は $P(B\mid A)$ である。

サイコロの例

方法1（確率を求めて比をとる）
$P(A)=\dfrac{1}{2},P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$ より， $P(B\mid A)=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$
方法2（場合の数を求めて比をとる）
$|A|=3,|A\cap B|=2$ より $P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}$

有名な問題です。

例題2

ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち少なくとも一人は男の子ということが分かった。このとき，二人とも男の子である確率を求めよ。ただし，男の子が生まれる確率，女の子が生まれる確率はともに $\dfrac{1}{2}$ とする。

解答

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで，

よって， $P(B\mid A)=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$ である。

注：問題文中の「少なくとも一人が男の子」を「年上の方が男の子」という表現に変えると答えは $\dfrac{1}{2}$ になります（年下が男の子である確率は $\dfrac{1}{2}$ ）。

次も非常に有名な話題です。

例題3

とある病気にかかっているか判定する検査について考える。この病気は $10$ 万人に一人が罹患している。「病気なのに陰性と判定してしまう確率」「病気でないのに陽性と判定してしまう確率」はともに $0.01$ であるとする。太郎さんが陽性と判定されたとき，本当に病気にかかっている確率を求めよ。

解答

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで， $P(A)$ は，以下の2つの和である。

これを計算すると， $P(A)=0.0100098$ となる。一方， $P(A\cap B)=0.00001\times 0.99=0.0000099$

よって， $P(B\mid A)=\dfrac{0.0000099}{0.0100098}\fallingdotseq 0.001$

つまり，陽性と判断されても本当に病気である確率は $0.1$ ％しかないのです！

罹患率の低い病気について，一回の検査結果で陽性と判断するのは危険ということですね。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！