条件付き確率の意味といろいろな例題

$A$ ：出目が偶数（つまり出目が $2,4,6$ ）

$B$ ：出目が $4$ 以上（つまり出目が $4,5,6$ ）

とするとき，求める確率は $P(B\mid A)$ である。

• 方法1（確率を求めて比をとる）
  $P(A)=\dfrac{1}{2},P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$ より，$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$

• 方法2（場合の数を求めて比をとる）
  $|A|=3,|A\cap B|=2$ より $P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}$

$A$ ：少なくとも一人は男の子

$B$ ：二人とも男の子

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで，$P(A)=\dfrac{3}{4}$

（男男，男女，女男，女女のうち女女以外の確率）

$P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$

よって，$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$ である。

$A$ ：太郎さんが陽性と判定される

$B$ ：太郎さんが病気に罹患している

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで，$P(A)=0.00001\times 0.99+0.99999\times 0.01=0.0100098$

（病気かつ検査が正しい＋病気でないかつ検査が間違う）

$P(A\cap B)=0.00001\times 0.99=0.0000099$

よって，$P(B\mid A)=\dfrac{0.0000099}{0.0100098}\fallingdotseq 0.001$

つまり，陽性と判断されても本当に病気である確率は $0.1$ ％しかないのです！