相関係数の意味と6つの性質（範囲が-1以上1以下、など）

コーシーシュワルツの不等式より，

$$\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2$$

であり，$a_i=x_i-\overline{x}, b_i=y_i-\overline{y}$ を代入すると，

$$\sigma_X^2\sigma_Y^2\geq {\sigma_{XY}}^2$$

よって，相関係数の定義より，

$$\rho^2\leq 1$$

となり相関係数の絶対値が $1$ 以下であることが証明できた。

さらに，シュワルツの不等式の等号成立条件を考えると，

「全ての $i$ に対して $x_i-\overline{x}:y_i-\overline{y}$ が一定」

なのでこの比を $1:k$ とおくと，

$y_i=k(x_i-\overline{x})+\overline{y}$ となり，$(x_i, y_i)$ が全て同一直線上にあることが分かる。逆に，同一直線上なら相関係数の絶対値が $1$ であることも計算すればわかる。

$Y$ についても同様なので，$X$ についての単位の取り方を変えることで $x_i$ たちが全て $k$ 倍されるような場合を考える。

（例えば $100$ 点満点のテストの点数を $10$ 点満点で測りなおす場合は $k=0.1$）

このとき $x_i$ たちの平均値 $\overline{x}$ も $k$ 倍される

よって，相関係数は

$$\rho=\dfrac{\sum_{i=1}^n(kx_i-k\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(kx_i-k\overline{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2}}$$

となり分母も分子も $k$ 倍される。

つまり，相関係数は単位の取り方によらない。