じゃんけんグリコの最適戦略と東大の問題

自分が $(p,q,r)$ という戦略，相手が $(a,b,c)$ という戦略のとき

自分がグーで勝つ確率は $pb$，相手がグーで勝つ確率は $qa$

自分がチョキで勝つ確率は $qc$，相手がチョキで勝つ確率は $rb$

自分がパーで勝つ確率は $ra$，相手がパーで勝つ確率は $pc$

よって，一回のジャンケンでもらえる得点の期待値は

$E=3(pb-qa)+5(qc-rb)+6(ra-pc)$

（1）の設定のとき，

$E=\dfrac{1}{3}(3p-3q+5q-5r+6r-6p)=\dfrac{1}{3}(-3p+2q+r)\\ =\dfrac{1}{3}(1-4p+q)$

（最後の変形で $p+q+r=1$ を用いた）

これは $p=0,q=1,(r=0)$ のときに最大となる。よって， チョキを出し続けるのがよい（これは直感と一致する）！

条件：任意の相手の戦略 $(a,b,c)$ に対して $E\geq 0$

を満たす自分の戦略 $(p,q,r)$ を求めるのが目標。とりあえず $a,b,c$ について整理する：

$E=a(6r-3q)+b(3p-5r)+c(5q-6p)$

ここで，条件を満たす $\iff 6r-3q\geq 0,3p-5r\geq 0,5q-6p\geq 0$

（$\Leftarrow$ は自明，$\Rightarrow$ については特に $(a,b,c)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ の場合に条件が成立することから）

あとは上の三つの不等式を解くのみ。

• $p,q,r$ のいずれもが $0$ ではない（もしどれか1つが $0$ になると残り二つも $0$ になってしまう）。
• よって，不等式の両辺は正なので辺々かけあわせると $90pqr\geq 90pqr$

となり等号が成立。つまり，もとの三つの不等式でも等号が成立していた！

よって，最適戦略は $p:q:r=5:6:3$ を満たす。つまり， $(p,q,r)=(\frac{5}{14},\frac{6}{14},\frac{3}{14})$