双曲線関数(sinhx, coshx, tanhx)の逆関数

$y=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ を $x$ について解くのが目標。変形していく：

$$\begin{aligned} e^xy+e^{-x} y &= e^x-e^{-x}\\ e^{2x} (y-1) &= -y-1\\ e^{2x} &= \dfrac{1+y}{1-y}\\ 2x &= \log\dfrac{1+y}{1-y}\\ x&=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+y}{1-y} \end{aligned}$$

よって，$y=\tanh x$ の逆関数は，$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$

$y = \mathrm{arsinh}\ x$ は $\sinh y = x$ である。辺々を $x$ で微分すると $$y' (\sinh y)' = 1$$ となる。

$$\begin{aligned} (\sinh y)' &= \cosh y \\ &= \sqrt{1+\sinh^2 y}\\ &= \sqrt{1+x^2} \end{aligned}$$ より $$y' = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$ である。よって $$y = \log (x+\sqrt{x^2+1}) + C$$ となる。$x = 0$ での値を比較することで $C = 0$ とわかる。

$x=y=0$ とすると，$2f(0)=f(0)$ より $f(0)=0$ が分かる。

さらに，$y=-x$ とすると $f(-x)=-f(x)$ が分かる。

次に，$f'(x)$ を求めるために，$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ について考える（$h$ は十分 $0$ に近い実数）。

$$\begin{aligned} &\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\dfrac{f(x+h)+f(-x)}{h}\\ &=\dfrac{1}{h}f\left(\dfrac{h}{1-x^2-hx}\right)\\ &=\dfrac{f(\frac{h}{1-x^2-hx})-f(0)}{\frac{h}{1-x^2-hx}}\cdot\dfrac{1}{1-x^2-hx} \end{aligned}$$

これと $f'(0)=1$ より，$f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$

これを積分すると，$y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ となる。これは $\tanh x$ の逆関数！