極座標における回転体の体積公式

まず，具体例として $\alpha=0,\:\beta=\pi,\:r=r_0$ の場合を考えてみます。極座標における回転体の体積公式を使ってみると，回転体の体積は，

$\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi} r_0^3\sin\theta d\theta=\dfrac{4}{3}\pi r_0^3$

となります。

一方，$D$ は半径 $r_0$ の円の上側半分を表すので，球の体積公式を使うことでも，体積が $\dfrac{4}{3}\pi r_0^3$ であることが分かります。

つまり，極座標における回転体の体積公式 $\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta$ は，球の体積公式 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ を拡張したもの，とみなせます。

極座標における回転体の体積公式を使って，2009年京都大学理系第5問の一般化を解いてみます(京大の問題は $a=2,\:b=1$)。

極座標における回転体の体積公式を使って計算してみます。$D$ は $x$ 軸に関して対称であることに注意すると，

$V=\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi} r(\theta)^3\sin\theta d\theta\\ =\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{0}^{\pi} (a+b\cos\theta)^3\sin\theta d\theta\\ =\dfrac{2}{3}\pi\left[-\dfrac{1}{4b}(a+b\cos\theta)^4\right]_0^{\pi}\\ =\dfrac{\pi}{6b}\{-(a-b)^4+(a+b)^4\}\\ =\dfrac{\pi}{6}(8a^3+8ab^2)\\ =\dfrac{4\pi a}{3}(a^2+b^2)$

• 極方程式 $r=a+b\cos\theta$ で表される図形のことを，リマソンと言います。リマソン(英語版Wikipedia)

• 特に，$a=b$ の場合をカージオイドと言います（カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ）。カージオイドは有名ですが，リマソンはわりとマニアックだと思います。私自身，大学受験時にはリマソンという名前や体積公式は知りませんでした。

• 「愚直な方法」と「極座標における回転体の体積公式を使った方法」の両方で計算することで。検算できます。

パップスギュルダンの定理を使って公式を証明します。

参考：パップスギュルダンの定理とその証明

また，極座標の面積公式の証明を理解しているとスムーズです。

注：冒頭の主張では「$x$ 軸の上側にある図形」と限定しています。$x$ 軸の下側にある場合は $\sin\theta\leqq 0$ となりますが，そのような場合でも $\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3|\sin\theta| d\theta$ と絶対値をつけるとこの式は成立します。

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