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京大入試数学の良問と背景知識まとめ

更新日時 2021/03/07
目次
  • 問題+解答があるもの

  • 背景知識のみ

問題+解答があるもの

リンク先の記事内で解説しています。

1991 理系 前期 第4問

問題

実数 a,b(0a,b<π4)a,b\:(0\leq a,\:b <\dfrac{\pi}{4}) に対して以下の不等式を証明せよ:

tanatanbtan(a+b2)12(tana+tanb)\sqrt{\tan a\tan b}\leq \tan (\dfrac{a+b}{2})\leq\dfrac{1}{2}(\tan a+\tan b)

→上に凸,下に凸な関数と二階微分

凸不等式の知識は難関大では必須です。

2001 理系 前期 第4問

問題

xyzxyz 空間内の正八面体の頂点 P1,,P6P_1,\cdots,P_6 とベクトル vundefined\overrightarrow{v} に対し,kmk\neq m のとき PkPmundefinedvundefined0\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\overrightarrow{v}\neq 0 が成り立っているとする。このとき,kk と異なる全ての mm に対して PkPmundefinedvundefined<0\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\overrightarrow{v}< 0

となるような PkP_k が存在することを示せ。

→正六面体と正八面体の双対関係と京大の問題

2003 理系 前期 第4問

問題

f(x)=(x100+1)100+(x2+1)100+1f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1x2+x+1x^2+x+1 で割り切れるか。

→1の三乗根オメガを用いた計算と因数分解

2003 理系 後期 第5問

問題

以下の極限を求めよ:

limnk=12n(1)k(k2n)100\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\dfrac{k}{2n})^{100}

→区分求積法の難問~京大2003後期~

2006 文系,理系 後期 第6問

問題

tan1\tan 1^{\circ} は有理数か。

→tan1°が無理数であることの証明

自分が知っている中で最も問題文が短い入試問題です。多分京大の過去問の中で一番有名です。

2009 理系 前期 第5問

問題

r=2+cosθ(0θπ)r=2+\cos\theta\:(0\leq\theta\leq \pi)xx 軸で囲まれた図形を xx 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

→極座標における回転体の体積公式

背景知識のみ

知っていれば京大の過去問が一瞬で解けるorかなり有利になるような知識を紹介します。あくまで背景知識の紹介が目的ですので,実際の問題と解答は赤本などを参照して下さい。

・チェビシェフ多項式 1996 文系,理系 後期 第1問 →チェビシェフ多項式

・アイゼンシュタインの定理 1996 文系 後期 第2問 →アイゼンシュタインの定理

・ポリアの壺 1997 理系 後期 第5問 →ポリアの壺にまつわる確率とその証明

・等面四面体 1999 理系 後期 第4問 →等面四面体とその性質

・難しい積分 2007 理系乙 前期 第1問 →ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

・ルジャンドルの定理 2009 文系,理系甲 第5問 →ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数pのべき数)

京大は東大よりも知識一発で解ける問題が多い気がします。

自分は京大の入試問題には(東大ほど)精通していないのでここに書いたもの以外にも「背景知識があれば一瞬で解けるorかなり有利になるもの」はたくさんあると思います。 そのようなものをご存知の方はぜひともtwitterかメールでご一報ください!

このように背景知識を知っていると有利になる問題が増えると個人的には嬉しいです。

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