アルキメデスの螺旋

曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分）の極座標版の公式より，

$L=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{\left(r^2+\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta\\ =a\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{\theta^2+1}d\theta\\ =a\{F(\theta_2)-F(\theta_1)\}$

ただし，$F(\theta)$ は $\sqrt{\theta^2+1}$ の原始関数である。

具体的に計算するのは大変だが，ルートx^2+a^2の積分計算の２通りの方法より，

$F(\theta)=\dfrac{1}{2}\{\theta\sqrt{\theta^2+1}+\log(\theta+\sqrt{\theta^2+1})\}$

極方程式の面積公式を使うと，

$S=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\dfrac{1}{2}r^2d\theta\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}a^2\theta^2d\theta\\ =\dfrac{a^2(\theta_2^3-\theta_1^3)}{6}$

極座標表示と $xy$ 座標表示の間の関係式： $$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$ より，$x=a\theta\cos\theta,y=a\theta\sin\theta$ という媒介変数表示が得られる。

$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$

より，$x^2+y^2=r^2$

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

また $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$

以上を $\tan \dfrac{r}{a}=\tan (\theta)$ に代入すると

$\tan\left(\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{a}\right)=\dfrac{y}{x}$