曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分）

$f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ より，曲線の長さを求める公式を使うと，

$$\begin{aligned} L&=\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{1+\dfrac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}dx\\ &=\int_0^1\sqrt{\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2}dx\\ &=\int_0^1\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}dx\\ &=\dfrac{1}{2}\left[e^x-e^{-x}\right]_0^1\\ &=\dfrac{1}{2}\left(e-\dfrac{1}{e}\right) \end{aligned}$$

半径1の円なので，周の長さ $L=2\pi$ になるはず。これを公式 $$\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$$

を使って計算してみる。$f'(t)=-\sin t,\:g'(t)=\cos t$ なので， $$\begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}dt\\ &=\int_0^{2\pi}1dt\\ &=2\pi \end{aligned}$$

となる。

$x'=e^t\cos t-e^t\sin t$，$y'=e^t\cos t+e^t\sin t$ なので，長さ $L$ は，

$$\begin{aligned} &\int_0^{2\pi} \sqrt{(e^t\cos t-e^t\sin t)^2+(e^t\cos t+e^t\sin t)^2} dt\\ &= \int_0^{2\pi} e^t\sqrt{2\cos^2 t+2\sin^2 t}dt\\ &= \sqrt{2} \int_0^{2\pi}e^tdt\\ &= \sqrt{2} (e^{2\pi}-1) \end{aligned}$$

媒介変数が $t$ から $t+\Delta t$ に変化するとき，$x$ の増加量を $\Delta x$ ，$y$ の増加量を $\Delta y$ とおく。

その部分の曲線の長さは，線分の長さで近似できる：

$$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{ \left( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2}\Delta t$$

よって，曲線の長さ $L$ は折れ線で近似できる：

$$L\fallingdotseq \displaystyle\sum \sqrt{\left( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \dfrac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\Delta t$$

ここで，$\Delta t\to 0$ の極限を取ったものが曲線の長さである。右辺は微分の定義よりルートの中身 $\to f'(t)^2+g'(t)^2$ となり，さらに積分の定義より $$L=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$$ となる。

$x=t,\:y=f(t)$ と媒介変数表示された曲線に媒介変数表示版の公式を適用すると，普通の関数版の公式 $\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ が得られる。

$x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta$ と媒介変数表示された曲線に媒介変数表示版の公式を使う。

積の微分公式 → 連鎖律（多変数関数の合成関数の微分） より， $$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r(\theta)\sin\theta\\ \dfrac{dy}{d\theta}=\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta+r(\theta)\cos\theta$$ となるので，微分の二乗和は $$\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2=r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2$$ となる。つまり，曲線の長さは $$\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta$$ となる。

さらに $r$ に置換すると

$$\begin{aligned} &\int_{r_1}^{r_2}\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\:\dfrac{d\theta}{dr}dr\\ &=\int_{r_1}^{r_2}\sqrt{r^2\left(\dfrac{d\theta}{dr}\right)^2+1}\:dr \end{aligned}$$

という式も得られる。