三次関数の接線の本数についての美しい定理

三次関数のグラフの形は大きく分けて2パターンあります。

1. 極大点，極小点が存在する場合
2. 単調な場合

いずれの場合も，「変曲点における接線」と「三次関数（自分自身）」によって領域が4つに分かれます。それぞれの領域に図のように記号を定めます。

すると，点 $P$ から三次関数のグラフに引ける接線の本数に関して以下の美しい定理が成立します。

高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～ のT196では，この定理を知っていると高速に検算できる問題や，計算ミスを減らすコツを紹介しています。

上記の定理を式を使ってきちんと証明するのがこの記事の目標です。

しかし，まずは式で証明する前に 直感的に正しそうだということを図を見て確認してください。

パターン1の場合で見てみます。

• 「3」の領域にある緑の点からは接線が三本引けます（接点は薄い緑の点）
• 「1」の領域にある紫の点からは接線が一本しか引けません（接点は薄い紫の点）

まずは $f(x)=x^3+ax$ という形の三次関数について証明します。

対称性より（$f(x)$ が奇関数なので）$P$ の $x$ 座標が $0$ 以上の場合のみ考えればOKです。

なお，$a <0$ の場合がパターン1に，$a \geqq 0$ の場合がパターン2に対応していますが，定理の証明において場合分けは不要です。

一般の三次関数 $y=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ については適切に平行移動＆拡大を施すことで $y=x^3+ax$ という形にできます。

（平行移動で二次の項と定数項を消し，拡大（縮小）で三次の係数を $1$ にする） →グラフの平行移動（具体例と公式の証明） →関数のグラフの拡大・縮小の証明と例

平行移動や拡大を施した後のグラフで上記の定理が正しければ変換前のグラフにおいても定理は正しいので，全ての三次関数について目標の定理が成立することが分かりました！