四次関数の二重接線を素早く求める方法

与えられた四次関数と $y=Ax+B$ が $x=\alpha,\:\beta$ で接するとき，

$x^4-2x^3+1-Ax-B=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$

となる。あとはこれを展開して係数比較して $A,B$ を求めればよい。

上式の右辺は

$x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)x^2-2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+\alpha^2\beta^2$

となる。まず，$x^3$ と $x^2$ の係数を比較すると，

$-2=-2(\alpha+\beta)$

$0=\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2$

以上二つの式より $\alpha+\beta=1,\:\alpha\beta=-\dfrac{1}{2}$ となる。（ここで $\alpha$ と $\beta$ を求めにいく必要はない）

次に，$x$ の項と定数項を比較すると，

$-A=-2\alpha\beta(\alpha+\beta)\\=-2\cdot (-\dfrac{1}{2})\cdot 1=1$

$1-B=\alpha^2\beta^2=\dfrac{1}{4}$

以上より求める二重接線の方程式は $y=-x+\dfrac{3}{4}$

与えられた四次関数と $y=Ax+B$ が $x=\alpha,\:\beta$ で接するとき，

$x^4-2x^3+1-Ax-B=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$

つまり，

$x^4-2x^3+1\\=\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}^2+Ax+B$

よって，$x^4-2x^3+1$ を（二次式の二乗＋1次関数）となるように変形する（→平方完成のやり方といくつかの発展形の例題6）と，

$\left(x^2-x-\dfrac{1}{2}\right)^2-x+\dfrac{3}{4}$

となる（→注）。

よって求める二重接線の方程式は $y=-x+\dfrac{3}{4}$