ルートx^2+a^2の積分計算の２通りの方法

$I=\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx\\ =\displaystyle\int\dfrac{x^2+a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}dx\\ =\displaystyle\int\dfrac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}}dx+\int\dfrac{x\cdot x}{\sqrt{x^2+a^2}}dx$

ここで，右辺第一項は公式1より，

$a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2})$

となり，右辺第二項は部分積分を用いて（→補足），

$x\sqrt{x^2+a^2}-\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx\\ =x\sqrt{x^2+a^2}-I$

以上から，

$I=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))$

$x=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{a^2}{t}\right)$ と置換して，

$I=\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(t-\dfrac{a^2}{t}\right)^2+a^2}\cdot\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{a^2}{t^2}\right)dt\\ =\displaystyle\dfrac{1}{4}\int\left(t+\dfrac{a^2}{t}\right)\left(1+\dfrac{a^2}{t^2}\right)dt\\ =\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{t^2}{2}+2a^2\log t-\dfrac{a^4}{2t^2}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{1}{4}\left(t-\dfrac{a^2}{t}\right)\left(t+\dfrac{a^2}{t}\right)+a^2\log (x+\sqrt{x^2+a^2})\right\}\\ =\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))$

$x=a\sinh y$ と置換すると，

$\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh y$ および $\dfrac{dx}{dy}=a\cosh y$ より，

$\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2}dx\\ =\displaystyle\int a^2\cosh^2ydy\\ =\dfrac{a^2}{2}\displaystyle\int (1+\cosh 2y)dy\\ =\dfrac{a^2}{2}\left(y+\dfrac{1}{2}\sinh 2y\right)\\ =\dfrac{a^2}{2}\left(y+\sinh y\cosh y\right)\\ =\dfrac{a^2}{2}\sinh^{-1}\dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}\\ =\dfrac{1}{2}\{a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+x\sqrt{x^2+a^2}\}$