入試数学コンテスト第1回第4問解答解説

$$\begin{aligned} \left\{g(2)\right\}^2 &= 4\left(e^4 + e^{-4}\right) + 8\\ \left\{f(2)\right\}^2 + 16 &= 4\left(e^4 + e^{-4}\right) + 8 \end{aligned}$$

$$y = 2(e^x - e^{-x})$$ とおく。両辺に $e^x$ をかけて変形すると， $$\begin{aligned} 2(e^x)^2 - ye^x - 2 = 0 \end{aligned}$$ $e^x > 0$ より， $$\begin{aligned} e^x &= \dfrac{y+\sqrt{y^2 + 16}}{4}\\ \therefore x &= \log \left|\dfrac{y+\sqrt{y^2 + 16}}{4}\right| \end{aligned}$$ これより $$f^{-1}(x) = \log \left|\dfrac{x+\sqrt{x^2 + 16}}{4}\right|$$

$$x = f(t)$$ で置換することを考える。 $$\dfrac{dx}{dt} = 2(e^t + e^{-t}) = g(t)$$ であることから， $$\begin{aligned} \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + 16}} &= \int \dfrac{g(t)}{\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2 + 16}}dt\\ &= \int \dfrac{g(t)}{g(t)}dt \quad (\because \left\{g(x)\right\}^2 = \left\{f(x)\right\}^2 + 16)\\ &= \int dt\\ &= t + C \end{aligned}$$ ただし，$C$ は積分定数である。ここで(2)の結果より， $$t = \log \left|\dfrac{x+\sqrt{x^2 + 16}}{4}\right|$$ であるから， $$\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + 16}} = \log \left|\dfrac{x+\sqrt{x^2 + 16}}{4}\right| + C$$ よって， $$\begin{aligned} \int_0^3 \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 + 16}} &= \left[\log \left|\dfrac{y+\sqrt{y^2 + 16}}{4}\right|\right]_0^3\\ &= \log 2 \end{aligned}$$