区分求積法の難問~京大2003後期~

更新 2021/03/07

$f(x)$ が $0\leq x\leq 1$ で連続微分可能なとき

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf\left(\dfrac{k}{2n}\right)\\=\dfrac{1}{2}\{f(1)-f(0)\}$

一見複雑ですが美しい公式です。公式の自然な証明と，応用例として京大2003後期第5問を解説します。

なお， $f$ が連続微分可能とは， $f$ が連続かつ $f'$ が存在して連続という意味です。

公式の観察

上記の公式を覚える必要はありませんが，考え方はしっかり理解しておきましょう。きっとどこかの難関大学でまた出題されます！
公式を証明する方法はいくつかありそうですが，ここでは
「リミットとシグマを見たら区分求積法を連想すべし」という発想から証明します。
区分求積法を直接は使えないので工夫する必要があります。そこで，とりあえずシグマの部分を具体的に書き下してみます：
−f(12n)+f(22n)−f(32n)+f(42n)−⋯-f\left(\dfrac{1}{2n}\right)+f\left(\dfrac{2}{2n}\right)-f\left(\dfrac{3}{2n}\right)+f\left(\dfrac{4}{2n}\right)-\cdots−f(2n1​)+f(2n2​)−f(2n3​)+f(2n4​)−⋯
この形を見て以下の2つの基礎知識を組み合わせます！（これを思いつくのが一番むずかしい）
正負が交互に現れるので二項ずつまとめて評価したくなる
関数の差は平均値の定理で簡単に評価できる
具体的には例えば，平均値の定理より
f(22n)−f(12n)=12nf′(c1)f\left(\dfrac{2}{2n}\right)-f\left(\dfrac{1}{2n}\right)=\dfrac{1}{2n}f'(c_1)f(2n2​)−f(2n1​)=2n1​f′(c1​)
と評価できます（c1c_1c1​
 は
12n≤c1≤22n\dfrac{1}{2n}\leq c_1\leq \dfrac{2}{2n}2n1​≤c1​≤2n2​
 を満たす定数）。
以上に注意して公式を証明します。

区分求積法を使う公式の証明

証明

平均値の定理より，

$f\left(\dfrac{2k}{2n}\right)-f\left(\dfrac{2k-1}{2n}\right)=\dfrac{1}{2n}f'(c_k)$

と書ける。ただし， $\dfrac{2k-1}{2n}\leq c_k\leq\dfrac{2k}{2n}$

よって， $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf\left(\dfrac{k}{2n}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2n}f'(c_k)$

これで区分求積法が使える：

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kf\left(\dfrac{k}{2n}\right)\\ =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}f'(c_k)\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1f'(x)dx\\ =\dfrac{1}{2}(f(1)-f(0))$

※2行目から3行目は区分求積法に慣れていれば自明ですが，ピンとこない人は図を書いてみると分かります。

※3行目から4行目は微分して積分すると元に戻ることを使っています。→なぜ定積分で面積が求まるのか

区分求積法の難問

2003年京大後期第5問です。

京大の後期は良問・難問が豊富です。

問題

以下の極限を求めよ：

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\left(\dfrac{k}{2n}\right)^{100}$

上記の公式（または考え方）を覚えていれば一瞬で解ける問題です。

解答

上記の公式で $f(x)=x^{100}$ とすると，

求めたい極限は $\dfrac{1}{2}(1^{100}-0^{100})=\dfrac{1}{2}$

であることが分かる。

また，次の問題もどこかの入試問題だった気がします。

問題

以下の極限を求めよ：

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\log\left(1+\dfrac{k}{2n}\right)$

公式において $f(x)=\log(1+x)$ とすれば極限値が $\dfrac{\log 2}{2}$ であることが分かります。

大学入試問題を一般化するのも楽しいです。

Tag:京大入試数学の良問と背景知識まとめ

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！