ルジャンドルの定理（階乗が持つ素因数のべき数）

$30!$ を気合いで計算するのは厳しい。

そこで，ルジャンドルの定理を用いると，

$\left\lfloor \dfrac{30}{3} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{30}{9} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{30}{27} \right\rfloor\\ =10+3+1\\ =14$

つまり，14回

末尾の $0$ の数は，10で何回割り切れるか，すなわち $2$ で割れる回数と $5$ で割れる回数の少ない方である。
（直感的に考えて $5$ で割れる回数のほうが少ないので，$5$ で割れる回数だけ考えればよいが，練習のため $2$ で割れる回数も計算する）

ルジャンドルの定理より，$100!$ を $2$ で割れる回数は
$\left\lfloor \dfrac{100}{2} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{4} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{8} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{16} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{32} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{64} \right\rfloor\\ =50+25+12+6+3+1\\ =97$

$100!$ を $5$ で割れる回数は
$\left\lfloor \dfrac{100}{5} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{100}{25} \right\rfloor\\ =20+4\\ =24$

よって，答えは24個。

1から $n$ までの数の中で素因数 $p$ を1つ以上持っているもの（$p$ の倍数）は $\left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor$ 個。

さらに，その中で素因数 $p$ を2つ以上持っているもの（$p^2$ の倍数）は $\left\lfloor \dfrac{n}{p^2} \right\rfloor$ 個。

以下この議論を繰り返して求める公式を得る。