tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

$\tan 1^{\circ}$ が有理数であると仮定して矛盾を導く。

$\tan$ の倍角公式より $\tan\alpha$ が有理数なら $\tan 2\alpha$ も有理数である。

よって，$\tan 2^{\circ}, \tan 4^{\circ},\cdots ,\tan 64^{\circ}$ も全て有理数であることが分かる。

また，$\tan$ の加法定理：

$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

より $\tan\alpha, \tan\beta$ が有理数なら $\tan(\alpha-\beta)$ も有理数。

よって $64-4=60$ なので $\tan 60^{\circ}$ も有理数。

しかし $\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ なので矛盾。

$\cos 1^{\circ}$ が無理数であることの証明です。

$\cos 1^{\circ}$ が有理数であると仮定すると，

$\cos 30^{\circ}$ は $\cos 1^{\circ}$ の整数係数の $30$ 次式で表されるので有理数。

これは $\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ が無理数であることに矛盾。

$\sin 1^{\circ}$ が無理数であることの証明です。

$\sin 1^{\circ}$ が有理数であると仮定すると，$\cos 89^{\circ}$ も有理数。

よって，チェビシェフ多項式の理論から任意の自然数 $n$ に対して $\cos 89n^{\circ}$ も有理数。

あとはうまく $n$ を選んで矛盾を導けば良い。

とりあえず小さな $n$ で実験してみると規則性が見えてくる。

$n=5$ とすると $\cos (89\cdot 5)^{\circ}=\cos 85^{\circ}$

$n=9$ とすると $\cos (89\cdot 9)^{\circ}=\cos 81^{\circ}$

どんどん増やしていくと

$n=45$ で $\cos (89\cdot 45)^{\circ}=\cos 45^{\circ}$

も有理数であることが導けるが，これは $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ が無理数であることに矛盾。