数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

角の二等分線の公式より，$\dfrac{AI}{IP}=\dfrac{c}{BP}$

再び角の二等分線公式より，$BP=\dfrac{BP}{BP+PC}\cdot BC=\dfrac{ca}{b+c}$

よって，

$\dfrac{AI}{AP}=\dfrac{1}{1+\tfrac{IP}{AI}}=\dfrac{1}{1+\tfrac{a}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a+b+c}$

同様にして，

$\dfrac{BI}{BQ}=\dfrac{c+a}{a+b+c}, \dfrac{CI}{CR}=\dfrac{a+b}{a+b+c}$

より，以下の不等式を示せばよい。

$\dfrac{1}{4} < \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\leq\dfrac{8}{27}$

$a+b+c=1$ のとき $(a+b)(b+c)(c+a)\leq\dfrac{8}{27}$ を示せばよいが，相加相乗平均の不等式より，

$2=(a+b)+(b+c)+(c+a)\\ \geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

であり，この両辺を三乗すればよい。

$a+b+c=1$ のもとで

$\dfrac{1}{4} < (a+b)(b+c)(c+a)$

を示せば良い。ここで，$a=x+y, b=y+z, c=z+x$ とおくと，三角不等式 $a+b-c > 0$ などにより，$x, y, z>0$ が分かり，示すべき不等式は，

$\dfrac{1}{4} < (x+2y+z)(x+y+2z)(2x+y+z)$

また，$a+b+c=1$ より $x+y+z=\dfrac{1}{2}$ より，

$\dfrac{1}{4} < \left(\dfrac{1+2y}{2}\right)\left(\dfrac{1+2z}{2}\right)\left(\dfrac{1+2x}{2}\right)$

を示せばよいが，この式の右辺を計算すると，

$\dfrac{1}{8}(1+2x+2y+2z+4xy+4yz+4zx+8xyz)\\>\dfrac{1+2(x+y+z)}{8} = \dfrac{1}{4}$

となるので目標の不等式が示された。