不等式証明のコツ３：Ravi変換

Ravi変換を用いると，$x, y, z>0$ のもとで以下の不等式を示せばよい：

$2z(x+y)^2+2x(y+z)^2+2y(z+x)^2\leqq 3(x+y)(y+z)(z+x)$

整理する：

$x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2\geqq 6xyz$

これは相加相乗平均の不等式より成立。

目標の不等式を展開する：

$a^3+b^3+c^3+3abc\geqq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

これは，$r=1$ の場合のSchurの不等式そのものである。

Ravi変換を用いると，$x, y, z>0$ のもとで以下の不等式を示せばよい：

$(x+y)^2(y+z)(x-z)+(y+z)^2(z+x)(y-x)+(z+x)^2(x+y)(z-y)\geqq 0$

巡回式であることに注意しながら気合で整理する：

$xy^3+yz^3+zx^3\geqq xyz(x+y+z)$

両辺 $xyz$ で割る

$\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{x^2}{y}\geqq x+y+z\cdots(A)$

この不等式は以下のようにシュワルツの不等式を用いて示せる：

$(z+x+y)(\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{x^2}{y})\geqq(y+z+x)^2$

不等式 $\dfrac{y^2}{z}\geqq ay+(1-a)z$ が成立する $a$ を発見できれば，そのような不等式を3つ足し合わせることで目標の不等式は証明される。そこで，そのような $a$ を見つけるために上の不等式を整理して平方完成する：

$(y-\dfrac{a}{2}z)^2+(-1+a-\dfrac{a^2}{4})z^2\geqq 0$

$-1+a-\dfrac{a^2}{4}\geqq 0$ ならよいので，$a=2$ とすればok.