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累乗平均の不等式の具体例と証明

更新日時 2021/03/07

累乗平均の不等式(power mean inequality):

任意の非負の実数 xkx_k たちと正の実数 pp に対して

f(p)=(1nk=1nxkp)1pf(p)=\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}

とおくと f(p)f(p) は単調増加

f(p)f(p)xkx_k たちの「 pp 乗平均」や「 pp ノルム」と呼ばれる重要な量です。

目次
  • 累乗平均の不等式の具体例

  • 累乗平均の不等式の証明(片方が1ノルム)

  • 累乗平均の不等式の証明(一般の場合)

累乗平均の不等式の具体例

一般形だと分かりにくいのでまずは n=2n=2 で様子を見てみます:

f(p)=(x1p+x2p2)1pf(p)=\left(\dfrac{x_1^p+x_2^p}{2}\right)^{\frac{1}{p}}

p=1p=122 の場合を考えると,

x1+x22x12+x222\dfrac{x_1+x_2}{2}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2}{2}}

p=1p=133 の場合を考えると,

x1+x22x13+x2323\dfrac{x_1+x_2}{2}\leq\sqrt[3]{\dfrac{x_1^3+x_2^3}{2}}

・次に,一般の nn に対して p=1p=122 の場合を考えると,

x1+x2++xnnx12+x22++xn2n\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}

等号成立条件はいずれも「全ての xkx_k たちが等しい」ことです。 p=1p=122 の場合の大小関係(二乗平均と相加平均の不等式)がよく用いられます。

以下では累乗平均の不等式を証明していきます。

累乗平均の不等式の証明(片方が1ノルム)

目標は,任意の p,q(pq)p,\:q\:(p\geq q) に対して f(p)f(q)f(p)\geq f(q) を示すことです。とりあえず重要そうな q=1q=1 の場合の証明を試みます。

イェンゼンの不等式(凸関数の不等式)に慣れていれば g(x)=xpg(x)=x^p にイェンゼンの不等式を使いたくなるところです。

証明の前半部分

まず q=1,p1q=1, p\geq 1 の場合を証明する。

g(x)=xpg(x)=x^p とおくと,

p1p\geq 1 のとき g(x)g(x) は下に凸なのでイェンゼンの不等式より

g(x1)+g(x2)++g(xn)ng(x1+x2++xnn)\dfrac{g(x_1)+g(x_2)+\cdots +g(x_n)}{n}\geq g\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)

すなわち,

x1p+x2p++xnpn(x1+x2++xnn)p\dfrac{x_1^p+x_2^p+\cdots +x_n^p}{n}\geq \left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^p

両辺の pp 乗根を取ると f(p)f(1)f(p)\geq f(1) となる。

累乗平均の不等式の証明(一般の場合)

示したい不等式は,任意の非負の実数 xkx_k たちと p,q  (pq)p,q\; (p\geq q) に対して,

(1nk=1nxkp)1p(1nk=1nxkq)1q\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\geq \left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^q\right)^{\frac{1}{q}}

でした。

ここで,うまく変数変換をすると小さい方を 11 ノルムの形にしてさきほどの形に帰着することができます!

証明の後半部分

yk=xkqy_k=x_k^q とおいて題意の不等式の両辺を qq 乗すると,示すべき不等式は以下のようになる:

(1nk=1nykpq)qp(1nk=1nyk)\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^ny_k^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{q}{p}}\geq \left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^ny_k\right)

この両辺は yky_k たちの pq\dfrac{p}{q} ノルムと 11 ノルムの形であり,さきほどの結果から

f(pq)f(1)f(\dfrac{p}{q})\geq f(1) なので確かに成立する。

pq1\dfrac{p}{q} \geq 1 に注意

それなりに使うそれなりに有名なそれなりに美しい不等式です。

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