実践問題集その２

有名問題です。

$\tan$ が整数なので各角度は $45^{\circ}$ 以上である。よって，三角形 $ABC$ は鈍角三角形ではない。

よって，$\tan A,\tan B,\tan C$ は正の整数である。

また，タンジェントの関係式より，$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$

これと，$\tan A+\tan B+\tan C\leq 3\tan C$ より，$\tan A \tan B\leq 3$

よって，$(\tan A, \tan B)=(1, 1),(1, 2),(1, 3)$ を全て調べると題位を満たすのは，

$\tan A=1, \tan B=2,$

$\tan C=3$ のみ

微分法を用いて $f(x)=(1+\frac{1}{x})^{x}$ が単調増加であることを示せばよいのですが，ここでは相加相乗平均の不等式を用いたエレガントな証明を紹介します。

$n$ 個の $\dfrac{n+1}{n}$ と $1$ 個の $1$ に相加相乗平均の不等式を用いると，

$\dfrac{\frac{n+1}{n}\cdot n+1}{n+1}\geq\sqrt[n+1]{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}$

この式を整理して求める不等式を得る：

$(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\geq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$

難問です。いろいろな方法があると思いますが，ここではオイラーの定理を用います。

ヘロンの公式より三角形 $ABC$ の面積 $S$ は，$S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=6\sqrt{6}$

内接円の半径 $r$ は $r=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{2}{3}\sqrt{6}$

外接円の半径と面積の公式より，外接円の半径 $R$ は

$R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{35}{4\sqrt{6}}$

オイラーの定理より外心と内心の距離は，

$\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{\left(\dfrac{35}{4\sqrt{6}}\right)^2-2\cdot\dfrac{35}{4\sqrt{6}}\cdot\dfrac{2}{3}\sqrt{6}}=$ $\dfrac{\sqrt{70}}{8}$