$x^8=1$となるxを求めるにはどうすればいいですか

$x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1) \Leftrightarrow x^4+1=0 または x^2+1=0 または x+1=0 または x-1=0$

i)$x^4+1=0$ のとき

$x^4+1=0 \Leftrightarrow x^4+2x^2+1-2x^2=0 \Leftrightarrow (x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2=0 \Leftrightarrow (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)=0 \Leftrightarrow x^2+\sqrt{2}x+1=0 または x^2-\sqrt{2}x+1=0$

よって、$x=\frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}},\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}}$

ii)$x^2+1=0$のとき

$x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm i$

iii)$x+1=0$のとき

$x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$

iv)$x-1=0$のとき

$x-1=0 \Leftrightarrow x=1$

以上、i)~iv)より、$x=\frac{-1 \pm i}{\sqrt{2}},\frac{1 \pm i}{\sqrt{2}},\pm i,\pm 1$