位相空間論の基礎～連結空間・弧状連結空間の意味

• $1 \Rightarrow 2$

$A$ を開かつ閉な部分集合とする。

$A \cap A^c = \emptyset$ である。また，$A$ は閉であるため $A^c$ は開集合になる。定義より $A \cup A^c = X$ である。

$A,A^c$ がどちらも空でないことは $X$ の連結性と矛盾するため，$A , A^c$ のいずれかは $\emptyset$ である。よって $A$ は $\emptyset$ か $X$ のいずれかである。

• $2 \Rightarrow 3$

2点集合への写像がつねに一定の値を取ることを示せばよいため，$f : X \to \{1 , 2 \}$ が全射でないことを示せば十分である。

$f$ が全射と仮定すると $f^{-1} (\{ 1 \})$ は開かつ閉になる。（$\{ 1,2 \}$ は離散位相が入るため $\{ 1 \}$ は開かつ閉であるため）

2の過程より $f^{-1} (\{ 1 \})$ は $\emptyset$ もしくは $X$ となるが，どちらも $f$ の全射性と矛盾する。

• $3 \Rightarrow 1$

対偶を示す。

連結でない場合，$X = X_1 \cup X_2$，$X_1 \cap X_2 = \emptyset$ となる開集合 $X_1, X_2$ を取ることができる。$f : X \to \{ 1,2 \}$ を $$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \in X_1)\\ 2 & (x \in X_2) \end{cases}$$ と定めると 3 の条件を満たさない連続写像を得る。

$g : f(X) \to \{ 1,2 \}$ を連続写像とする。

このとき，連続写像 $g \circ f : X \to \{ 1,2 \}$ が得られる。

$X$ の連結性より $g \circ f$ は定数写像である。$g\circ f$ の取る値を $c$ とおく。

$y \in f(X)$ を任意に取ると，ある $x$ があって $f(x) = y$ である。ゆえに $$g(y) = g \circ f(x) = c$$ となり，$g$ が定数写像であることが分かる。

$f : X \times Y \to \{ 1, 2 \}$ を連続関数とする。これが定数写像であることを示せばよい。$x_1, x_2 \in X$，$y_1 , y_2 \in Y$ を任意に取る。$f(x_1, y_1) = f(x_2 , y_2)$ を示せばよい。

連続写像 $i_1, j_1$ を $$\begin{array}{cccc} i_1 : &\{ x_1 \} \times Y &\to & X \times Y\\ & (x_1 , y) &\mapsto & (x_1 , y)\\ j_1 : & Y & \to & \{ x_1 \} \times Y\\ & y & \mapsto & (x_1 , y) \end{array}$$ と定める。

$Y$ の連結性より，合成写像 $$\begin{aligned} f \circ i_1 \circ j_1 : Y &\to \{ 1,2 \}\\ y &\mapsto f(x_1, y) \end{aligned}$$ は定数写像である。よって $$\begin{aligned} f(x_1 , y_1) &= f \circ i_1 \circ j_1 (y_1) \\ &= f \circ i_1 \circ j_1 (y_2) \\ &= f(x_1,y_2) \end{aligned}$$ を得る。

連続写像 $i_2, j_2$ を $$\begin{array}{cccc} i_2 : &X \times \{ y_2 \} &\to & X \times Y\\ & (x , y_2) &\mapsto & (x , y_2)\\ j_2 : & X & \to & X \times \{ y_2 \}\\ & x & \mapsto & (x , y_2) \end{array}$$ と定める。

同様の議論で $$\begin{aligned} f \circ i_2 \circ j_2 : X &\to \{ 1,2 \}\\ x &\mapsto f(x,y_2) \end{aligned}$$ は定数写像であることが分かる。よって $$\begin{aligned} f(x_1, y_2) &= f \circ i_2 \circ j_2 (x_1)\\ &= f \circ i_2 \circ j_2 (x_2)\\ &= f(x_2,y_2) \end{aligned}$$ を得る。

こうして $$f(x_1,y_1) = f(x_1,y_2) = f(x_2,y_2)$$ が示された。

連続関数 $$f : \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda} \to \{1 , 2\}$$ を考える。

任意に $x,y \in \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ を取る。前の定理より $f(x) = f(y)$ を示せばよい。

各 $\lambda$ について，$f$ を各 $A_{\lambda}$ の制限した $f \mid_{A_{\lambda}} : A_{\lambda} \to \{ 1,2 \}$ は，$A_{\lambda}$ の連結性から定数写像である。

$x \in A_{\lambda_1}$，$y \in A_{\lambda_2}$ となる $\lambda_1 , \lambda_2 \in \Lambda$ を取り，$z \in \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ を任意に取る。

上述したことから $$f (x) = f \mid_{A_{\lambda_1}} (x) = f \mid_{A_{\lambda_1}} (z) = f(z)\\ f (y) = f \mid_{A_{\lambda_2}} (y) = f \mid_{A_{\lambda_2}} (z) = f(z)$$ となる。よって $f(x) = f(y)$ となり定理が示された。

$B$ が連結ではないと仮定して矛盾を導く。

このとき，$X$ の開集合 $O_1,O_2$ であって $$(B \cap O_1) \cup (B \cap O_2) = B,\\ (B \cap O_1) \cap (B \cap O_2) = \emptyset ,\\ B \cap O_1 , B \cap O_2 \neq \emptyset$$ となる。

$A \subset B$ であるため，上の式を $A$ に制限することで $$(A \cap O_1) \cup (A \cap O_2) = A\\ (A \cap O_1) \cap (A \cap O_2) = \emptyset$$ である。

$B \cap O_1 \neq \emptyset$ であるため，$b \in B \cap O_1$ を取ることができる。$A \cap O_1 = \emptyset$ とすると $\bar{A} \cap O_1 \subset \overline{A \cap O_1} = \emptyset$ より $b \notin \bar{A} \cap O_1$ である。これは $B \cap O_1 \subset \bar{A} \cap O_1$ と矛盾する。よって $A \cap O_1 \neq \emptyset$ である。

同様に $A \cap O_2 \neq \emptyset$ が従うが，これらは $A$ の連結性と矛盾する。こうして $B$ は連結である。

$y_0,y_1 \in f(X)$ を任意の2点とする。

このとき $x_0 , x_1 \in X$ が存在して $y_0 = f(x_0)$，$y_1 = f(x_1)$ となる。

$X$ の弧状連結性より，$c(0) = x_0$，$c(1) = x_1$ を満たす道 $c$ が存在する。

ここで連続写像 $f \circ c$ は $$f \circ c (0) = y_0 ,\ f \circ c (1) = y_1$$ を満たす道であるため $f(X)$ は弧状連結であることが分かる。

$(x_0,y_0) , (x_1 , y_1) \in X \times Y$ を任意に取る。

このとき，$X,Y$ の弧状連結性から $x_0$ と $x_1$ を結ぶ道 $c_x$ と $y_0$ と $y_1$ を結ぶ道 $c_y$ を取ることができる。

ここで $\Delta : \lbrack 0,1 \rbrack \to \lbrack 0,1 \rbrack \times \lbrack 0,1 \rbrack$ を $\Delta (t) = (t,t)$ と定めると，合成写像 $$(c_x \times c_y) \circ \Delta : \lbrack 0,1 \rbrack \to X \times Y$$ は $(x_0,y_0)$ と $(x_1,y_1)$ を結ぶ道である。

$x_0 , x_1 \in \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ を任意に取る。このとき $\lambda_0 ,\lambda_1$ が存在して $x_0 \in A_{\lambda_0} , x_1 \in A_{\lambda_1}$ となる。

$x_2 \in \displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ を任意に取る。このとき $A_{\lambda_0} , A_{\lambda_1}$ の弧状連結性より $c_0 (0) = x_0, c_0 (1) = x_2$ となる道 $c_0$ と $c_1(0) = x_1, c_1(1) = x_2$ を結ぶ道 $c_1$ が存在する。

このとき，連続写像 $c : \lbrack 0,1 \rbrack \to \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$ を $$c(t) = \begin{cases} c_0 (2t) & \left( 0 \le t \le \dfrac{1}{2} \right)\\ c_1 (1-2t) & \left( \dfrac{1}{2} < t \le 1 \right) \end{cases}$$ と定めると，これは $x_0$ と $x_1$ を結ぶ道になる。よって弧状連結性が示された。