位相空間論への第一歩～近傍系について

$X$ の部分集合 $U$ が次の条件

$(\ast)$：任意の $x \in U$ に対して，ある $V \in \mathscr{V} (x)$ があり，$V \subset U$ となる

を満たすとき，$U$ は開集合であると定義する。

$X$ の開集合を全て集めた部分集合族を $\mathfrak{O}$ とすると， $\mathfrak{O}$ が実際に開集合の公理を満たすを確認する。

1. $X$ と $\emptyset$ が開集合であること

$X$ が開集合であることは明らか。

$\emptyset$ には元が含まれないため，自動的に条件 $(\ast)$ が満たされる。よって開集合になる。（注：前提が偽であれば，命題は真であることを思い出そう）

2. $U_1$，$U_2$ が開集合のとき，$U_1 \cap U_2$ も開集合であること

$x \in U_1 \cap U_2$ を任意に取る。

条件 $(\ast)$ から，ある $V_1,V_2 \in \mathscr{V} (x)$ があって，それぞれ $V_1 \subset U_1$，$V_2 \subset U_2$ となる。

ここで $V = V_1 \cap V_2$ とすると，これもまた $x$ の近傍になり，$V \subset U_1 \cap U_2$ となる。よって $U_1 \cap U_2$ も開集合である。

3. $\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}$ が開集合であるとき，$\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$ は開集合であること

$x \in \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$ を任意に取る。

このとき，ある $\mu$ について $x \in U_{\mu}$ となる。

ここで条件 $(\ast)$ より，ある $V \in \mathscr{V} (x)$ があり $V \subset U_{\mu}$ である。

特に $V \subset U_{_mu} \subset \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$ であるため $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}$ は開集合である。