位相空間論への第一歩～開集合・閉集合について

$\mathbb{R}$ に対して $\mathfrak{O}$ を開区間の和集合全体，つまり $$\mathfrak{O} = \left\{ \bigcup (a_i , b_i) \mid a_i \leqq b_i \right\}$$ と定義する。これは $\mathbb{R}$ の開集合系となる。

3つの条件を満たすことを確認する。

1. $(0,0) = \emptyset$ より $\emptyset \in \mathfrak{O}$，$\displaystyle \bigcup_{n=-\infty}^{\infty} (n-1,n+1) = \mathbb{R}$ より $\mathbb{R} \in \mathfrak{O}$ である。
2. 定義より明らか
3. 定義より明らか

距離空間 $(X,d)$ にも同様に位相構造が入る。

$$U (a,\varepsilon) = \{ x \in X \mid d(x,a) < \varepsilon \}$$ とする。

$X$ の部分集合 $O$ が次の条件

• 任意の $x \in O$ に対して，ある $\varepsilon > 0$ があり，$U(x,\varepsilon) \subset O$ となる

を満たすとき，$O$ は開集合であると定義する。

$X$ の開集合を全て集めた部分集合族を $\mathfrak{O}$ とすると， $\mathfrak{O}$ は開集合の公理を満たす。

$S = \{ p,q \}$ とする。次の4つの部分集合族は $S$ に位相を定める。

1. $\mathfrak{O}_1 = \{ \emptyset , S \}$
2. $\mathfrak{O}_2 = \{ \emptyset , \{ p \} , S \}$
3. $\mathfrak{O}_3 = \{ \emptyset , \{ q \} , S \}$
4. $\mathfrak{O}_4 = \{ \emptyset , \{ p \} , \{ q \} , S \}$

このように同じ集合でも異なる位相を入ることがある。

$T = \{ p , q , r \}$ とする。次の部分集合族は $T$ に位相を定める。

1. $\mathfrak{O}_1 = \{ \emptyset , T \}$
2. $\mathfrak{O}_2 = \{ \emptyset , \{ p \} , \{ q \}, \{ p,q \} , T \}$
3. $\mathfrak{O}_3 = \{ \emptyset , \{ p \}, \{ p,q \} , \{ p,r \} , T \}$
4. $\mathfrak{O}_4 = \{ \emptyset , \{ r \} , \{ p,q \} , T \}$

3点集合に入る位相構造は全部で29個あると知られている。開集合の公理に慣れるために是非チャレンジしてみよう。

$S$ を任意の集合とする。

$\mathfrak{O}_1 = \{ \emptyset , S \}$ とすると，これは位相を定める。これを 密着位相 という。開集合を「部屋」としてみると，密着位相には部屋が $S$ だけであると思える。こうしてみると $S$ の元が「密着」していると感じられるであろう。

$\mathfrak{O}_2 = \{ S \ \text{の任意の部分集合} \}$ とすると，これも位相を定める。これを 離散位相 という。すべての元に自分だけが入れる部屋があるわけなので，「離散」と名付けてしかるべきであろう。

これら2つの位相を 自明な位相 という。

$(S_1, \mathfrak{O}_1) , (S_2 , \mathfrak{O}_2)$ を位相空間とする。

直積集合 $S_1 \times S_2$ に対して $\mathfrak{O}$ を $$\mathfrak{O} = \{ O_1 \times O_2 \mid O_1 \in \mathfrak{O}_1 , O_2 \in \mathfrak{O}_2 \}$$ と定めると，これは開集合系を成す。

これを元にすると $\mathbb{R}^2$ には $$\mathfrak{O} = \left\{ \bigcup (a^1_i , b^1_i) \times (a^2_i , b^2_i) \right\}$$ という開集合系により位相構造が定まる。

なお，ここで紹介した積位相の概念は有限個の位相空間の積であるときにのみ成立する。無限個の位相空間の積から得られる積位相は少々特殊な定義が必要となる。

位相空間 $(X,\mathfrak{O})$ の部分集合 $Y$ には $$\mathfrak{O} ' = \{ U \cap Y \mid U \in \mathfrak{O} \}$$ と開集合系を定めることができる。

この位相空間を部分位相空間・相対位相空間という。

例1と同様に $\mathbb{R}$ に対して $\mathfrak{A}$ を開区間の和集合全体，つまり $$\mathfrak{A} = \left\{ \bigcup [a_i , b_i] \mid a_i \leqq b_i \right\}$$ と定義すると，これは $\mathbb{R}$ の閉集合系となる。

$\mathrm{Spec} \ \mathbb{Z}$ を素数全体の集合とする。

整数 $n$ に対して $$V(n) = \{ p \mid p \ \text{は} \ n \ \text{を割り切る} \}$$ と定義する。

例えば

• $V(8) = \{ 2 \}$
• $V(30) = \{ 2,3,5 \}$
• $V(57) = \{ 3,19 \}$

です。

$\mathfrak{A} = \{ V(n) \mid n \in \mathbb{Z} \}$ とすると，これは閉集合系を成す。実際にチェックしてみよう。

1. $V(1) = \emptyset$，$V(0) = \mathrm{Spec} \ \mathbb{Z}$
2. $n_1 , n_2 \in \mathbb{Z}$ を任意に取る。$n$ を $n_1$ と $n_2$ の最大公約数とすると $V(n_1) \cup V(n_2) = V(n) \in \mathfrak{A}$ である。
3. $\{ n_i \}_{i \in \mathbb{Z}}$ を取る。$n$ を全ての $n_i$ を割り切る整数とすると $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{\infty} V(n_i) = V(n) \in \mathfrak{A}$ である。

この位相を ザリスキ位相 という。

集合 $S$ に対して $\mathfrak{A} = \{ S \ \text{の有限な部分集合} \}$ とすると，これは閉集合系を成す。

これを 補有限位相 という。

先ほど触れたように $(a,b]$ の内部は $(a,b)$ で，閉包は $[a,b]$ である。境界は $\{ a,b \}$ である

内部

$O$ を $O \subset \mathbb{Q}$ となる開集合とする。

$O \neq \emptyset$ と仮定すると，ある $a,b \in \mathbb{R}$ があって $(a,b) \subset O$ となる。しかし $\mathbb{Q}$ は離散的な集合なので $(a,b) \subset \mathbb{Q}$ となることはない。

よって $O \subset \mathbb{Q}$ となる空でない開集合は存在しないことがわかる。ゆえに $\mathbb{Q}^{\circ} = \emptyset$ である。

閉包

$\mathbb{Q} \subset D$ となる閉集合 $D$ を考える。

$D \neq \mathbb{R}$ という閉集合が存在すると仮定すると，$D^{c}$ は空でない開集合である。よって，ある $a,b \in \mathbb{R}$ があって $(a,b) \subset D^c$ である。

しかし，任意の実数の間にある有理数が存在するため，$c \in \mathbb{Q}$ かつ $c \in (a,b)$ となる元が存在する。これは $\mathbb{Q} \subset D$ に反する。

よって $\mathbb{Q} \subset D$ となる閉集合は $\mathbb{R}$ ただ1つ。ゆえに $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ である。