カントール集合とその性質

まず $[0,1]$ を三等分して真ん中を取り除くと，$\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},1\right]$ となります。

さらにそれぞれを三等分して真ん中を取り除くと，

$\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right]$ となります。

これを無限回繰り返して得られる集合をカントール集合と言います。

区間 $[0,1]$ 内の実数 $x$ がカントール集合に属する $\iff$$x$ の三進数展開に $1$ が登場しないと表現することもできます。

実際，三進数展開の小数第 $k$ 位に（はじめて）$1$ があらわれるものは $k$ 回目の操作で切り取られます。

カントール集合は自己相似（フラクタル）です。

自分自身を $\dfrac{1}{3}$ 倍に縮小したものを $2$ つ持ってくれば自分自身を再構成できるので，フラクタル次元（ハウスドルフ次元）は $\dfrac{\log 2}{\log 3}\fallingdotseq 0.63$ です。線分は1次元なので，線分よりは中身スカスカという感じです。

注：ハウスドルフ次元については，→コッホ曲線の次元，曲線の長さなど

カントール集合のルベーグ測度（大きさのようなもの）は $0$ です。区間 $[0,1]$ から一様ランダムに実数を $1$ つ選んだとき，その実数がカントール集合に属している確率は $0$ というイメージです。

カントール集合の濃度は実数の濃度と同じです。ルベーグ測度は $0$ であるにもかかわらず，実数全体との間に全単射が存在する（実数と同じくらい要素がたくさんある，カントール集合は非可算集合である）のです。

注：濃度については→集合の濃度と可算無限・非可算無限