ハウスドルフ空間

$x = (x_1, \cdots , x_n)$，$y = (y_1, \cdots , y_n)$ は $\mathbb{R}^n$ の異なる2点とする。

このときある $i$ に対して $x_i \neq y_i$ となる。

正の実数 $\varepsilon$ を $\varepsilon < \dfrac{1}{2} |y_i - x_i|$ となるように取る。

$U(x,\varepsilon)$ は $x$ の開近傍，$U(y,\varepsilon)$ は $y$ の開近傍で，$U(x,\varepsilon) \cap U(y,\varepsilon) = \emptyset$ となる。

よって $\mathbb{R}^n$ はハウスドルフ空間である。

$(X,\mathfrak{O})$ をハウスドルフ空間とし，$Y$ を $X$ の部分集合とする。 $$\mathfrak{O} ' = \{ U \cap Y \mid U \subset \mathfrak{O} \}$$ とすると $(Y,\mathfrak{O}')$ は位相空間になるのだった。

$y,y' \in Y$ を異なる2点とする。

$y,y' \in X$ でもあるため，$X$ のハウスドルフ性から，開集合 $U,U'$ であって $y \in U$，$y' \in U'$，$U \cap U' = \emptyset$ となるものが存在する。

ここで $U \cap Y$，$U' \cap Y$ とすると，これらは $y,y'$ の $Y$ における開近傍であり，共通部分は空になる。

よって $Y$ はハウスドルフ空間である。

$(X,\mathfrak{O})$，$(Y,\mathfrak{O}')$ をハウスドルフ空間とする。

$(x,y)$，$(x',y')$ を $X \times Y$ の異なる2点とする。

$x \neq x'$ のときを考える。

このとき $x$ の開近傍 $U$ と $x'$ の開近傍 $U'$ であって $U \cap U' = \emptyset$ となるものが存在する。

ここで $y$ の開近傍 $V$ と $y'$ の開近傍 $V'$ を任意に取ると，$U \times V$ と $U' \times V'$ はそれぞれ $(x,y)$，$(x',y')$ の開近傍であり，$U \times V \cap U' \times V' = \emptyset$ を満たす。

$y \neq y'$ のときも同様に議論すると開近傍を取ることができる。

補有限位相における開集合 $O$ は，$O^c$ が有限となる $X$ の部分集合である。

$x,y$ を $X$ の異なる2点とする。

$x$ の開近傍 $U_x$，$y$ の開近傍 $U_y$ を任意に取る。

$U_x \cap U_y \neq \emptyset$ を示す。

$(U_x \cap U_y)^{c} = {U_x}^c \cup {U_y}^c$ である。${U_x}^c$，${U_y}^c$ は有限集合であるため $(U_x \cap U_y)^c$ は有限集合となる。

$X$ は無限集合であるため $(U_x \cap U_y)^c \neq X$ である。つまり $U_x \cap U_y \neq \emptyset$ である。

よって補有限位相はハウスドルフではない。

$(1,0)$ と $(0,1)$ の2点を分ける開集合がないことを確認する。

$(1,0)$ の開集合を $D(f_1)$，$(0,1)$ の開集合を $D(f_2)$ と取る。$D(f_1) \cap D(f_2) \neq \emptyset$ を示す。

$f_1 (x,0)$ は $x$ の多項式になる。$n$ 次であるとすると，その解は高々 $n$ 個である。

同じく $x$ の多項式 $f_2 (x,0)$ が $m$ 次とすると，その解は高々 $m$ 個である。

よって，$f_1 (x,0) = 0$，$f_2 (x,0) = 0$ のどちらかを満たす実数は有限個しかない。

一方，$\mathbb{R}$ 自体は無限集合であるため， $$\begin{cases} f_1 (x_0,0) \neq 0\\ f_2 (x_0,0) \neq 0 \end{cases}$$ となる $x_0$ が存在する。

こうして $x_0 \in D(f_1) \cap D(f_2)$ となり，$(\mathbb{R}^2 , \mathfrak{O})$ はハウスドルフ空間ではないことが分かる。

ハウスドルフ空間を $X$，コンパクト部分集合を $K$ とおく。

$K^c$ が開集合であることを示せばよい。

$y \in K^c$ を任意に取る。$y$ の開近傍で $K^c$ に含まれるものの存在を示せばよい。

$x \in K$ を任意に取る。$X$ はハウスドルフ空間であるため，$x$ の開近傍 $U_x$，$y$ の開近傍 $V_x$ であって $U_x \cap V_x = \emptyset$ となるものが取れる。

このように各 $x \in K$ に対して $U_x$，$V_x$ が取れる。

特に $$K \subset \bigcup_{x \in K} U_x$$ となる。$K$ はコンパクトであるため，有限個の $x_i \in K \ (1 \leqq i \leqq n)$ があって， $$K \subset \bigcup_{i=1}^n U_{x_i}$$ となる。

よって $$\bigcap_{i=1}^n V_{x_i} \subset K^c$$ であって，さらに $\displaystyle y \in \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}$ となる。

つまり $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_{x_i}$ は $y$ の開近傍であって $K^c$ に含まれることが分かり，$K^c$ が開集合であることが分かった。

$(x_1,x_2) \in (\Delta X)^c$ を取る。

$x_1 \neq x$，$x_2 \neq x$ であるため，$x_1$ の開近傍 $U_1$，$x_2$ の開近傍 $U_2$ であって $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ となるものがある。

このとき $U_1 \times U_2$ は $(x_1 , x_2)$ の開近傍になる。

$(y_1 , y_2) \in U_1 \times U_2$ を任意に取る。ここで $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ であったため，$y_1 \neq y_2$ になる。

ここから $U_1 \times U_2 \subset (\Delta X)^c$ となる。こうして $(\Delta X)^c$ は開集合，つまり $\Delta X$ は閉集合である。