補集合の定義と具体例・問題例

更新 2021/02/24

集合 $A$ の補集合とは，「全体」の中で $A$ に含まれない要素をすべて集めたもの。

補集合とは

「全体」が決まっているとき，「全体」の中で AAA に含まれない要素をすべて集めたものを AAA の補集合と呼びます。
例えば，「全体」が1から5の整数 {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}{1,2,3,4,5} で，A={1,2}A=\{1,2\}A={1,2} のとき，AAA の補集合は {3,4,5}\{3,4,5\}{3,4,5} です。
「全体」を表す集合を全体集合といい，UUU で表すことが多いです。また，AAA の補集合を A‾\overline{A}A や ACA^{\mathrm{C}}AC と書くことが多いです。→集合の記号の意味まとめ
補集合の定義は，集合の記号を使って
A‾={x∈U∣x∉A}
\overline{A} = \left\{ x \in U \mid x\notin A  \right\}
A={x∈U∣x∈/A}
と表すこともできます。
余談：差集合と補集合ある集合 BBB の中から，別の集合 AAA の要素を取り除いた残りの要素でできた集合を，差集合といいます。 BBB を特別に全体集合 UUU としたとき，この差集合を AAA の補集合と呼びます。この意味で補集合は差集合の特別な場合と言えます。

補集合の具体例

例1

全体集合 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ と $A = \{3,5,6,7,8,10\}$ に対し，補集合 $\overline{A}$ を求めよ。

$A$ に入っていなくて， $U$ に入っているものを選べば良いので $\overline{A} = \{1,2,4,9\}$

例2

全体集合 $U$ を正の数全体の集合，つまり $U = \{x\mid x > 0\}$ とし， $A = \{x\mid x > 2\}$ としたとき， $\overline{A}$ を求めよ。

$A$ に入っていなくて， $U$ に入っているものを集めると「2以下かつ0より大きい数すべて」になります。つまり， $\overline{A} = \{x\mid 0 < x \leq 2\}$ となります。境界はどちらに含まれるか（この問題で言えば $x = 2$ は $A$ と $\overline{A}$ のどちらに含まれるか）に気をつけましょう。

例3

全体集合 $U$ を実数全体の集合とし， $A = \{x\mid x > 2\}$ としたとき， $\overline{A}$ を求めよ。

集合の記号を使って表すと $\overline{A} = \{x\mid x \leq 2\}$ となります。例2，例3を見てわかる通り， $A$ が同じでも全体集合 $U$ が変わると補集合も変わることに注意しましょう。

例4

以下のように各数字を要素として含む集合 $U,A,B$ を考える。

ベン図を使った例題

このとき，集合 $A \cap B \cap \overline{C}$ を求めよ。

$A,B$ の円の中には含まれていて， $C$ の円の中には含まれていない要素を列挙すればよいので， $A \cap B \cap \overline{C} = \{54\}$ が答えです。要素としては $54$ のみが答えですが，集合を答えよと言われているので $A \cap B \cap \overline{C} = 54$ と答えないように気をつけましょう。

補集合と要素数

集合 SSS に対して，その要素数を n(S)n(S)n(S) と書くことにします。例えば，S={1,2,5}S=\{1,2,5\}S={1,2,5} なら n(S)=3n(S)=3n(S)=3 です。
実は，補集合の要素数について，
n(A‾)=n(U)−n(A)
n(\overline{A})= n(U) - n(A)
n(A)=n(U)−n(A)
という式が成立します。
「AAA の補集合」は「全体集合 UUU」 から「AAA に含まれるものを除いたもの」なので，上の式が成立します。移項して，
n(A)=n(U)−n(A‾)
n(A)= n(U) - n(\overline{A})
n(A)=n(U)−n(A)
と書くこともできます。
多くの場合，全体集合の要素数はわかっているので n(A‾)n(\overline{A})n(A) がわかれば n(A)n(A)n(A) もわかると言えます。

補集合に関する応用問題

問題1

$n(U)=30,\:n(A) = 14,\:n(B) = 11,\:n(A \cap B) = 6$ のとき， $n(\overline{A \cup B})$ を求めよ。

さきほど紹介した補集合の要素数についての式： $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ を使って計算します。また，右辺の $n(A \cup B)$ は3つに分解： $n(A \cup B) \\= n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B)$ してそれぞれ数えます。式だけ眺めていてもよくわからない場合，ベン図を書いて状況を想像してみてください。

解答

$A$ に含まれて， $B$ に含まれない部分について， $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$ が成立するから， $n(A \cap \overline{B}) = 14 - 6 = 8$ 同様に， $B$ に含まれて， $A$ に含まれない部分について， $n(B \cap \overline{A}) = n(B) - n(A \cap B)$ が成立するから， $n(B \cap \overline{A}) = 11 - 6 = 5$ よって $n(A \cup B) \\= n(A \cap \overline{B}) + n(B \cap \overline{A}) + n(A \cap B)$ により $n(A \cup B) = 8 + 5 + 6 = 19$ よって， $\begin{aligned} n(\overline{A \cup B}) &= n(U) - n(A \cup B) \\ &= 30 - 19\\ &= 11 \end{aligned}$ を得る。

次に，問題1とは毛色の異なった問題を考えてみます。

問題2

1から5の数字が書かれた5個のボールが入った袋がある。袋の中からボールを1個とり，数字を確認して袋にもどす一連の流れを「操作」と呼ぶことにする。10回「操作」を行って，確認した数字を左から書き並べて10桁の数字を作った時，その数字の中に1が少なくとも1つ入っている場合は何通りあるか。

まずは，補集合の考え方を使わず，正面から解いてみます（大変です）。

大変な解答

10桁の数字の中で1つだけ1があるものは ${}_{10}\mathrm{C}_1\cdot 1\cdot 4^{10-1}$ 通りある。同様に10桁の数字の中で $k$ 個 $(0 \leq k \leq 10)$ だけ1があるものは ${}_{10}\mathrm{C}_k \cdot 1 \cdot 4^{10-k}$ 通りであるので，「少なくとも1が1つある」とは，「1〜10個の1がある」ことと同じであることを考慮すると，求める場合の数は $\sum_{k = 1}^{10} {}_{10}\mathrm{C}_k \cdot 1 \cdot 4^{10-k}$ ここで二項定理（→二項定理の意味と２通りの証明）により， $(1+4)^n = \sum_{k = 0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k \cdot 4^{n-k}\\ = \sum_{k = 1}^{n} {}_n \mathrm{C}_k \cdot 4^{n-k} + 4^n$ $\therefore 5^n - 4^n = \sum_{k = 1}^{n} {}_n \mathrm{C}_k \cdot 4^{n-k}$ であるから， $n = 10$ を代入して，求める場合の数は $5^{10} - 4^{10}$ 通りとなる。

とても大変ですね。これはこれで二項定理の復習になるので勉強して損はないですが，補集合を用いることで，よりスマートに解けます。

賢明な解答

10桁の数字は全部で $5^{10}$ 通りあるが，そのうち「1が1つも含まれない」ものは $4^{10}$ 通りある。「1が1つも含まれない」ものの集合の補集合は，「1が少なくとも1つ入っている」数字の集合であるから，答えは $5^{10} - 4^{10}$ 通りとなる。

このようにとても簡単な引き算一発で求めることができました。正攻法では時間がかかり過ぎる問題も，補集合を使うと簡単に計算できることがあります。以下を覚えておくとよいでしょう。

$n(A)$ よりも $n(\overline{A})$ の方が計算しやすい時は $n(A)= n(U) - n(\overline{A})$ として考えるのが良い。

ちなみに，さらに複雑な問題になると，補集合の場合の数を求めるのも大変な場合があります。その場合は，ド・モルガンの法則を使うと道が開けることがあります。→ド・モルガンの法則の解説

ちなみに， $A$ の補集合の補集合は $A$ になります。

この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。