正三角形の面積，正四面体の体積を求める公式

ここでは2通りの方法で正三角形の面積公式を求めてみましょう。

求め方1 〜底辺×高さ÷2を使う〜

下図のように正三角形 $ABC$ について角 $\angle{A}$ の二等分線を引いてみます。

すると，$D$ は $BC$ の中点になるので，$BD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}a$ です。

よって，三平方の定理より，
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}\\ =\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\ =\sqrt{a^2-\dfrac{1}{4}a^2}\\ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$

三角形の面積は底辺×高さ÷2でしたから，求める面積 $S$ は，

$$S = a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \dfrac{1}{2}\\ = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$$

となります。

求め方2　〜sinを用いた三角形の面積公式を使う〜

高校で習うsinを用いた三角形の面積公式を使うことでも，公式を導出できます。一般の三角形 $\triangle{ABC}$ の面積 $S$ は，公式により

$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B$$

と表されます。この公式については，sinを用いた三角形の面積公式 をご覧ください。

いま，$\triangle{ABC}$ が正三角形の場合は

$$a=b=c , \angle{A} = \angle{B} = \angle{C} = 60°$$

であるから，公式にしたがい，求める面積 $S$ は，

$$S= \dfrac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin{60°}\\ = \dfrac{1}{2} a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

となります。

正四面体はうまく座標空間にはめこむことができます。ちなみに，正二十面体も座標空間にはめこむことができます。 →正二十面体の対角線・体積・内接球などを座標で計算

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