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正三角形の面積,正四面体の体積を求める公式

更新日時 2021/03/07

(i)1辺の長さが aa の正三角形の面積 SS は,

S=34a2S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

(ii)1辺の長さが aa の正四面体の体積 VV は,

V=212a3V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3

記述式の場合途中経過を求められるので,この公式を用いることはできませんが,検算に用いることはできます。特に,(ii)はその場で計算しようとするとわりと時間がかかってしまうので,覚えておくべきです。

正四面体の体積は「底面積×高さ× 13\dfrac{1}{3} 」を普通に計算すれば導出できますが,ここではサラスの公式を用いて(ii)のエレガントな導出を紹介します。

目次
  • サラスの公式を用いた正四面体の体積の導出

サラスの公式を用いた正四面体の体積の導出

正四面体はうまく座標空間にはめこむことができます。ちなみに,正二十面体も座標空間にはめこむことができます。 →正二十面体の対角線・体積を座標でエレガントに導出

正四面体の体積公式の導出

正四面体の体積

座標空間上に一辺 222\sqrt{2} の正四面体 ABCDABCD を以下のように構成する:

A(0,0,0)A(0,0,0)B(2,2,0)B(2,2,0)C(2,0,2)C(2,0,2)D(0,2,2)D(0,2,2)

原点を1つの頂点として座標軸に平行な一辺の長さが2の立方体をイメージすれば分かりやすいだろう(図参照)。

四面体 ABCDABCD の体積はサラスの公式より以下のように求まる。

1602323=83=212(22)3\dfrac{1}{6}|0-2^3-2^3|=\dfrac{8}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}(2\sqrt{2})^3

ここで,正四面体の体積は1辺の長さ aa の3乗に比例するので,

V=ca3V=ca^3 と書けることに注意すると,c=212c=\dfrac{\sqrt{2}}{12} となり(ii)を得る。

非常にお世話になる機会が多い公式の1つです

Tag:三角形の面積を求める公式まとめ

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