覚えておくと便利な三角比の値

更新日時 2022/06/30

15∘15^{\circ} や 18∘18^{\circ} の三角比は，値そのもの（または導出方法）を覚えておくとよいです。

sin⁡15∘=6−24\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

cos⁡15∘=6+24\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

tan⁡15∘=6−26+2=2−3\tan 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}

sin⁡18∘=5−14\sin 18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

目次

15∘15^{\circ} の三角比の値

まずは，sin⁡15∘, cos⁡15∘, tan⁡15∘\sin 15^{\circ},\:\cos 15^{\circ},\:\tan 15^{\circ} についてです。

sin15

15∘15^{\circ} の三角比は，値そのものを覚えていなくても，

「15∘15^{\circ}，75∘75^{\circ}，90∘90^{\circ}」の直角三角形の辺の比は

「4:6+2:6−24:\sqrt{6}+\sqrt{2}:\sqrt{6}-\sqrt{2}」

と覚えておけば，一瞬で図が書けるので式も導けます。

中学時代からお馴染みの

「1:1:21:1:\sqrt{2}」,「1:2:31:2:\sqrt{3}」 だけでなく

「4:6+2:6−24:\sqrt{6}+\sqrt{2}:\sqrt{6}-\sqrt{2}」

もおさえておきましょう。

もちろん，半角の公式および cos⁡30∘\cos 30^{\circ} の値から 15∘15^{\circ} の三角比は簡単に導けます。導出には時間がかからないので毎回計算してもよいですが，結果を覚えておくと時間短縮になります。

18∘18^{\circ} の三角比の値

18∘18^{\circ} の三角比については，値そのものよりも，導き方を覚えるのがおすすめです。18∘18^{\circ} の倍数の三角比の値は簡単に求められるという事実を知っておきましょう。

ここでは，sin⁡18∘\sin 18^{\circ} の値を代数的な計算で求める方法と，図形的に求める方法を紹介します。

導出1. 三角関数の公式を用いる

18∘=θ18^{\circ}=\theta とおく。

sin⁡54∘=cos⁡36∘\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ} より，sin⁡3θ=cos⁡2θ\sin3\theta=\cos2\theta

両辺を三倍角の公式，倍角の公式を用いて sin⁡θ\sin\theta に統一すると，

−4sin⁡3θ+3sin⁡θ=1−2sin⁡2θ-4\sin^3\theta+3\sin\theta=1-2\sin^2\theta

この三次方程式を解くと，sin⁡θ=1,−1±54\sin\theta=1,\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{4}

0<sin⁡θ<10<\sin\theta<1 より，sin⁡18∘=5−14\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

ちなみに，cos⁡18∘\cos18^{\circ} も同じような方法で求められますが，2重根号が出てきます。

導出2. 三角形の相似を利用する

18sin

図のように，頂角が 36∘36^{\circ} である二等辺三角形 ABCABC を考える。 AB=AC=xAB=AC=x，BC=1BC=1 とする。

∠ABC∠ABC の二等分線と辺 ACAC との交点を DD とおくと，AD=BDAD=BD より，CD=x−1CD=x-1

また，∠BCD=∠BDC=72∘∠BCD=∠BDC=72^{\circ} となり，三角形 ABCABC と三角形 BCDBCD が相似であることが分かる。

よって，AB:BC=BC:CDAB:BC=BC:CD なので

x:1=1:x−1x:1=1:x-1

x>0x>0 の解を求めて，x=1+52x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

よって，sin⁡18∘=12BCAB=11+5=5−14\sin18^{\circ}=\dfrac{\frac{1}{2}BC}{AB}=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

実は，上記の三角形 ABCABC は正五角形の3つの頂点となっています。xx は1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを表しており，有名な黄金比が登場します。トレミーの定理を使って求めることもできます。

導出3. 複素数平面を使う

1の5乗根を計算することで cos⁡72∘=5−14\cos 72^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} がわかる。詳しい計算は 1のn乗根の性質と複素数平面 の記事末参照。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT57では，sin⁡18∘\sin 18^{\circ} を求める計算においてミスを減らすコツも紹介しています。

『高校数学の美しい物語』の最初の記事です。

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

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