三倍角の公式:基礎からおもしろい発展形まで

更新日時 2022/10/06
三倍角の公式

sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta
cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

三倍角の公式

三倍角の公式について,覚え方・証明・応用問題・おもしろい発展形を整理しました。

目次
  • 三倍角の公式の覚え方

  • 三倍角の公式の証明

  • 応用問題

  • 関連する公式

三倍角の公式の覚え方

そもそも覚えなくてもよい

  • 三倍角の公式の使用頻度は高くありません。覚えなくてもよいです。
  • ただし,導出はできるようになっておきたいです。
  • 2倍角の公式を覚えておけば三倍角の公式の導出も少し楽になるので,「加法定理」と「2倍角の公式」は覚えて「三倍角の公式」は毎回導出する,というのがおすすめです。→2倍角の公式とその証明

覚え方

とはいえ,難関大学受験者で,余裕がある人は覚えてもよいです。

  • まず「sin\sin の三倍角は cos\cos の三倍角を反転(sinとcosを交換して係数をマイナス1倍)」と覚えましょう。そうすれば,sin\sincos\cos の片方を忘れても大丈夫です。 三倍角の公式の覚え方 あとは,「がんばって式をそのまま丸暗記する」 または 「以下の語呂」sin\sincos\cos の片方を覚えましょう。
三倍角の語呂合わせ
  • cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta
    よい子参上してみこし引く(4co三乗して3cos引く)
  • sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta
    マジシャン参上して三振(-4sin三乗して3sin)

コサインの方が無理がなく覚えやすいですね。

三倍角の公式の証明

三倍角の公式の証明は加法定理を繰り返し使うだけです。

加法定理:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

の証明については,加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法) をご覧ください。

sinの証明

sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta

を証明する。まず,3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta と分解して,加法定理を使う:

sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ\begin{aligned} &\sin 3\theta\\ &=\sin(\theta+2\theta)\\ &=\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta \end{aligned}

さらに,2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta と分解して,加法定理を使う:

sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθcos(θ+θ)+cosθsin(θ+θ)=sinθ(cosθcosθsinθsinθ)+cosθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=3sinθcos2θsin3θ\begin{aligned} &\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\ &=\sin\theta\cos (\theta+\theta)+\cos\theta\sin (\theta+\theta)\\ &=\sin\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ &\quad +\cos\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ &=3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta \end{aligned}

最後に,三角関数の相互関係 cos2θ=1sin2θ\cos^2\theta=1-\sin^2\theta を使う:

3sinθcos2θsin3θ=3sinθ(1sin2θ)sin3θ=4sin3θ+3sinθ\begin{aligned} &3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ &=3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ &=-4\sin^3\theta+3\sin\theta \end{aligned}

補足:三角関数の相互関係については,三角関数の相互関係とその証明 をご覧ください。

cosの証明

cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

を証明する。まず,3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta と分解して,加法定理を使う:

cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θsinθsin2θ\begin{aligned} &\cos 3\theta\\ &=\cos(\theta+2\theta)\\ &=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta \end{aligned}

さらに,2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta と分解して,加法定理を使う:

cosθcos2θsinθsin2θ=cosθcos(θ+θ)sinθsin(θ+θ)=cosθ(cosθcosθsinθsinθ)sinθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=3sin2θcosθ+cos3θ\begin{aligned} &\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\ &=\cos\theta\cos (\theta+\theta)-\sin\theta\sin (\theta+\theta)\\ &=\cos\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ &\quad -\sin\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ &=-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta \end{aligned}

最後に,sin2θ=1cos2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta を使う:

3sin2θcosθ+cos3θ=3(1cos2θ)cosθ+cos3θ=4cos3θ3cosθ\begin{aligned} &-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta\\ &=-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\cos^3\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{aligned}

応用問題

例題1:三角方程式

sin3θ=sinθ\sin 3\theta=\sin\theta を満たす θ\theta0θ<π0\leq\theta<\pi の範囲で求めよ。

三倍角の公式を使えば,3θ3\theta の三角関数を θ\theta の三角関数に直すことができます。

例題1の解答

三倍角の公式で左辺を変形すると,

4sin3θ+3sinθ=sinθ4sin3θ+2sinθ=0sinθ(sin2θ12)=0sinθ(sinθ12)(sinθ+12)=0sinθ=0,±12\begin{aligned} &-4\sin^3\theta+3\sin\theta=\sin\theta\\ &-4\sin^3\theta+2\sin\theta=0\\ &\sin\theta\left(\sin^2\theta-\dfrac{1}{2}\right)=0\\ &\sin\theta \left( \sin\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =0\\ &\sin\theta=0,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

よって θ=0,π4,34π\theta=0,\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3}{4}\pi

例題2:積分

不定積分 cos3θdθ\displaystyle\int\cos^3\theta d\theta を計算せよ。

三倍角の公式を使うと,cos3θ\cos^3\theta を1次式に直せます。

解答

cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta を変形すると,

cos3θ=14cos3θ+34cosθ\cos^3\theta=\dfrac{1}{4}\cos 3\theta+\dfrac{3}{4}\cos\theta

よって,

cos3θdθ=14cos3θdθ+34cosθdθ=112sin3θ+34sinθ+C\begin{aligned} &\int \cos^3\theta d\theta\\ &=\dfrac{1}{4} \int\cos 3\theta d\theta+\dfrac{3}{4}\int \cos\theta d\theta\\ &=\dfrac{1}{12}\sin 3\theta+\dfrac{3}{4}\sin\theta+C \end{aligned}

関連する公式

tanの三倍角の公式

sin\sincos\cos と同様に,tan\tan についても三倍角の公式が成立します:

tan3θ=3tanθtan3θ13tan2θ\tan{3\theta} = \dfrac{3\tan{\theta} - \tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}

sin\sincos\cos とくらべて使う機会が少ないので覚える必要はありません。ただし,導出はできるようになっておきたいです。

tanの証明

tanθ=3tanθtan3θ13tan2θ\tan{\theta} = \dfrac{3\tan{\theta} - \tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}

を示す。まず,3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta と分解して,加法定理を使う:

tan3θ=tan(θ+2θ)=tanθ+tan2θ1tanθtan2θ\begin{aligned} &\tan{3\theta}\\ &= \tan{(\theta + 2\theta)} \\ &= \dfrac{\tan{\theta} + \tan{2\theta}}{1-\tan{\theta} \tan{2\theta}} \end{aligned}

さらに,2θ=θ+θ2\theta = \theta + \theta と分解して,加法定理を使う:

tanθ+tan2θ1tanθtan2θ=tanθ+2tanθ1tan2θ1tanθ2tanθ1tan2θ=tanθ(1tan2θ)+2tanθ(1tan2θ)2tan2θ=3tanθtan3θ13tan2θ\begin{aligned} &\dfrac{\tan{\theta} + \tan{2\theta}}{1-\tan{\theta} \tan{2\theta}} \\ &= \dfrac{\tan{\theta} + \dfrac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}}{1-\tan{\theta} \dfrac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}}\\ &= \dfrac{\tan{\theta} (1-\tan^2{\theta}) + 2\tan{\theta}}{(1-\tan^2{\theta}) -2\tan^2{\theta}}\\ &= \dfrac{3\tan{\theta} - \tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}} \end{aligned}

余談:tan\tannn 倍角

tan\tan の四倍角の公式は tan4θ=4tanθ4tan3θ16tan2θ+tan4θ \tan 4 \theta = \dfrac{4 \tan \theta - 4 \tan^3 \theta}{1 - 6 \tan^2 \theta +\tan^4 \theta} となります。二倍角・三倍角・四倍角を見比べていると,美しい規則がみつかります。

tan2θ=2C1tanθ2C0tan0θ2C2tan2θtan3θ=3C1tanθ3C3tan3θ3C0tan0θ3C2tan2θtan4θ=4C1tanθ4C3tan3θ4C0tan0θ4C2tan2θ+4C4tan4θ\begin{aligned} \tan 2 \theta &= \dfrac{{}_2 \mathrm{C}_{1} \tan \theta}{{}_2 \mathrm{C}_{0} \tan^0 \theta - {}_2 \mathrm{C}_{2} \tan^2 \theta}\\ \tan 3\theta &= \dfrac{{}_3 \mathrm{C}_{1} \tan \theta - {}_3 \mathrm{C}_{3} \tan^3 \theta}{{}_3 \mathrm{C}_{0} \tan^0 \theta - {}_3 \mathrm{C}_{2} \tan^2 \theta}\\ \tan 4 \theta &= \dfrac{{}_4 \mathrm{C}_{1} \tan \theta - {}_4 \mathrm{C}_{3} \tan^3 \theta}{{}_4 \mathrm{C}_{0} \tan^0 \theta - {}_4 \mathrm{C}_{2} \tan^2 \theta + {}_4 \mathrm{C}_4 \tan^4 \theta} \end{aligned}

実は,帰納法を用いると tan(2n+1)θ=2n+1C1tanθ++(1)n2n+1C2n+1tan2n+1θ2n+1C0tan0θ++(1)n2n+1C2ntan2nθtan(2n)θ=2nC1tanθ++(1)n12nC2n1tan2n1θ2nC0tan0θ++(1)n2nC2ntan2nθ\begin{aligned} \tan (2n+1) \theta &= \dfrac{{}_{2n+1} \mathrm{C}_{1} \tan \theta + \cdots + (-1)^{n} {}_{2n+1} \mathrm{C}_{2n+1} \tan^{2n+1} \theta}{{}_{2n+1} \mathrm{C}_{0} \tan^0 \theta + \cdots + (-1)^{n} {}_{2n+1} \mathrm{C}_{2n} \tan^{2n} \theta}\\ \tan (2n) \theta &= \dfrac{{}_{2n} \mathrm{C}_{1} \tan \theta + \cdots + (-1)^{n-1} {}_{2n} \mathrm{C}_{2n-1} \tan^{2n-1} \theta}{{}_{2n} \mathrm{C}_{0} \tan^0 \theta + \cdots + (-1)^{n} {}_{2n} \mathrm{C}_{2n} \tan^{2n} \theta} \end{aligned} が示せます。

因数分解した形

三倍角の公式(因数分解した形)

sin3θ=4sinθsin(θ+60)sin(θ60)cos3θ=4cosθcos(θ+60)cos(θ60)\sin3\theta=-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)\\\cos3\theta=4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ)

右辺が因数分解されており,非常におもしろいです。証明は難しくありません。右辺を加法定理で展開すれば,三倍角の公式の右辺と一致することが確認できます。

また,三倍角の公式の右辺を因数分解して合成することでも証明できます。

証明

sin3θ=4sin3θ+3sinθ=sinθ(4sin2θ+3)=sinθ(sin2θ+3cos2θ)=sinθ(3cosθ+sinθ)(3cosθsinθ)=4sinθsin(θ+60)sin(θ60)cos3θ=4cos3θ3cosθ=cosθ(4cos2θ3)=cosθ(cos2θ3sin2θ)=cosθ(cosθ+3sinθ)(cosθ3sinθ)=4cosθcos(θ+60)cos(θ60)\begin{aligned} &\sin3\theta\\ &=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ &=\sin\theta(-4\sin^2\theta+3)\\ &=\sin\theta(-\sin^2\theta+3\cos^2\theta)\\ &=\sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)\\ &=-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)\\ &\cos3\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ &=\cos\theta(4\cos^2\theta-3)\\ &=\cos\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\\ &=\cos\theta(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)(\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta)\\ &=4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ) \end{aligned}

この公式は例えば,フランクモーリーの定理の証明に用いられます。

フランクモーリーの定理

morley

任意の三角形 ABCABC において,3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を P,Q,RP, Q, R とおくと,三角形 PQRPQR は正三角形である。

猛者は数学オリンピックの本戦対策として覚えておいてもよいでしょう。 →フランク・モーリーの定理の証明

因数分解した形はフランクモーリー以外では使わないと思いますがなかなか綺麗な公式です。

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