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三倍角の公式と変形三倍角の公式

更新日時 2021/03/07

三倍角の公式 とは,θ\theta の三角関数と 3θ3\theta の三角関数の間に成り立つ以下の関係式のことです:

sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta

cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

このページでは,三倍角の公式の証明,応用例についてわかりやすく解説します。

目次
  • 三倍角の公式の証明

  • 三倍角の公式を覚えるか?

  • 三倍角の公式の応用例

  • 変形三倍角の公式

三倍角の公式の証明

三倍角の公式の証明は少し長いですが,加法定理:

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

を繰り返し使うだけなので,考え方は難しくありません。

証明

sin3θ=4sin3θ+3sinθ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta

を証明する。まず,3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta と分解して,加法定理を使う:

sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ\sin 3\theta\\ =\sin(\theta+2\theta)\\ =\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta

さらに,2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta と分解して,加法定理を使う:

sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθcos(θ+θ)+cosθsin(θ+θ)=sinθ(cosθcosθsinθsinθ)+cosθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=3sinθcos2θsin3θ\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\ =\sin\theta\cos (\theta+\theta)+\cos\theta\sin (\theta+\theta)\\ =\sin\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ \:\:+\cos\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ =3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta

最後に,cos2θ=1sin2θ\cos^2\theta=1-\sin^2\theta を使う:

3sinθcos2θsin3θ=3sinθ(1sin2θ)sin3θ=4sin3θ+3sinθ3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ =-4\sin^3\theta+3\sin\theta

続いて,

cos3θ=4cos3θ3cosθ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

を証明する。まず,3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta と分解して,加法定理を使う:

cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θsinθsin2θ\cos 3\theta\\ =\cos(\theta+2\theta)\\ =\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta

さらに,2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta と分解して,加法定理を使う:

cosθcos2θsinθsin2θ=cosθcos(θ+θ)sinθsin(θ+θ)=cosθ(cosθcosθsinθsinθ)sinθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=3sin2θcosθ+cos3θ\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\ =\cos\theta\cos (\theta+\theta)-\sin\theta\sin (\theta+\theta)\\ =\cos\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ \:\:-\sin\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ =-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta

最後に,sin2θ=1cos2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta を使う:

3sin2θcosθ+cos3θ=3(1cos2θ)cosθ+cos3θ=4cos3θ3cosθ-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta\\ =-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\cos^3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta

三倍角の公式を覚えるか?

倍角の公式を覚えておけば,三倍角の公式の導出も少し楽になるので,「加法定理」と「倍角の公式」は覚えて「三倍角の公式」は毎回導出する,というのがおすすめです。

実際,加法定理や倍角の公式は頻出ですが,三倍角の公式の使用頻度は高くありません。ただし,暗記しない場合でも三倍角の公式の導出は1分以内にできるようになっておきたいです。

三倍角の公式の応用例

三倍角の公式を使えば,3θ3\theta の三角関数を θ\theta の三角関数に直すことができます。例えば, sin3θ=sinθ\sin 3\theta=\sin\theta のように,3θ3\thetaθ\theta が混在した三角方程式を解くことができます。

他にも,三倍角の公式を,

sin3θ=34sinθ14sin3θ\sin^3\theta=\dfrac{3}{4}\sin\theta-\dfrac{1}{4}\sin 3\theta

と見ることで,sin3θ\sin^3\theta の積分が計算できたりもします。

変形三倍角の公式

三倍角の公式を用いて以下の美しい公式が導かれる:

sin3θ=4sinθsin(θ+60)sin(θ60)cos3θ=4cosθcos(θ+60)cos(θ60)\sin3\theta=-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)\\\cos3\theta=4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ)

この公式は例えば,フランクモーリーの定理の証明に用いられます。猛者は数学オリンピックの本戦対策として覚えておいてもよいでしょう。 →フランク・モーリーの定理の証明

右辺を加法定理で展開すれば三倍角の公式の右辺と一致することが確認できるので証明は難しくありません。

三倍角の公式の右辺を因数分解して合成を行うことでも証明できます。

証明

sin3θ=4sin3θ+3sinθ=sinθ(4sin2θ+3)=sinθ(sin2θ+3cos2θ)=sinθ(3cosθ+sinθ)(3cosθsinθ)=4sinθsin(θ+60)sin(θ60)\sin3\theta\\ =-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ =\sin\theta(-4\sin^2\theta+3)\\ =\sin\theta(-\sin^2\theta+3\cos^2\theta)\\ =\sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)\\ =-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)

cos3θ=4cos3θ3cosθ=cosθ(4cos2θ3)=cosθ(cos2θ3sin2θ)=cosθ(cosθ+3sinθ)(cosθ3sinθ)=4cosθcos(θ+60)cos(θ60)\cos3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =\cos\theta(4\cos^2\theta-3)\\ =\cos\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\\ =\cos\theta(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)(\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta)\\ =4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ)

フランクモーリー以外では使わないと思いますがなかなか綺麗な公式です。

Tag:三角関数の基本公式一覧

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