関連する公式
tanの三倍角の公式
sin と cos と同様に,tan についても三倍角の公式が成立します:
tan3θ=1−3tan2θ3tanθ−tan3θ
sin や cos とくらべて使う機会が少ないので覚える必要はありません。ただし,導出はできるようになっておきたいです。
tanの証明
tanθ=1−3tan2θ3tanθ−tan3θ
を示す。まず,3θ=θ+2θ
と分解して,加法定理を使う:
tan3θ=tan(θ+2θ)=1−tanθtan2θtanθ+tan2θ
さらに,2θ=θ+θ と分解して,加法定理を使う:
1−tanθtan2θtanθ+tan2θ=1−tanθ1−tan2θ2tanθtanθ+1−tan2θ2tanθ=(1−tan2θ)−2tan2θtanθ(1−tan2θ)+2tanθ=1−3tan2θ3tanθ−3tan3θ
因数分解した形
三倍角の公式(因数分解した形)
sin3θ=−4sinθsin(θ+60∘)sin(θ−60∘)cos3θ=4cosθcos(θ+60∘)cos(θ−60∘)
右辺が因数分解されており,非常におもしろいです。証明は難しくありません。右辺を加法定理で展開すれば,三倍角の公式の右辺と一致することが確認できます。
また,三倍角の公式の右辺を因数分解して合成することでも証明できます。
証明
sin3θ=−4sin3θ+3sinθ=sinθ(−4sin2θ+3)=sinθ(−sin2θ+3cos2θ)=sinθ(3cosθ+sinθ)(3cosθ−sinθ)=−4sinθsin(θ+60∘)sin(θ−60∘)
cos3θ=4cos3θ−3cosθ=cosθ(4cos2θ−3)=cosθ(cos2θ−3sin2θ)=cosθ(cosθ+3sinθ)(cosθ−3sinθ)=4cosθcos(θ+60∘)cos(θ−60∘)
この公式は例えば,フランクモーリーの定理の証明に用いられます。
フランクモーリーの定理

任意の三角形 ABC において,3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を
P,Q,R
とおくと,三角形
PQR
は正三角形である。
猛者は数学オリンピックの本戦対策として覚えておいてもよいでしょう。
→フランク・モーリーの定理の証明
因数分解した形はフランクモーリー以外では使わないと思いますがなかなか綺麗な公式です。
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