三倍角の公式と変形三倍角の公式

更新日時 2021/03/07

三倍角の公式 とは， $\theta$ の三角関数と $3\theta$ の三角関数の間に成り立つ以下の関係式のことです：

$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

このページでは，三倍角の公式の証明，応用例についてわかりやすく解説します。

三倍角の公式の証明
三倍角の公式を覚えるか？
三倍角の公式の応用例
変形三倍角の公式

三倍角の公式の証明三倍角の公式の証明は少し長いですが，加法定理：
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
を繰り返し使うだけなので，考え方は難しくありません。
証明
sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\thetasin3θ=−4sin3θ+3sinθ
を証明する。まず，3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta3θ=θ+2θ
 と分解して，加法定理を使う：
sin⁡3θ=sin⁡(θ+2θ)=sin⁡θcos⁡2θ+cos⁡θsin⁡2θ\sin 3\theta\\
=\sin(\theta+2\theta)\\
=\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\thetasin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ
さらに，2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta2θ=θ+θ
 と分解して，加法定理を使う：
sin⁡θcos⁡2θ+cos⁡θsin⁡2θ=sin⁡θcos⁡(θ+θ)+cos⁡θsin⁡(θ+θ)=sin⁡θ(cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θsin⁡θ)  +cos⁡θ(sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ)=3sin⁡θcos⁡2θ−sin⁡3θ\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\
=\sin\theta\cos (\theta+\theta)+\cos\theta\sin (\theta+\theta)\\
=\sin\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\
\:\:+\cos\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\
=3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\thetasinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθcos(θ+θ)+cosθsin(θ+θ)=sinθ(cosθcosθ−sinθsinθ)+cosθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=3sinθcos2θ−sin3θ
最後に，cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta=1-\sin^2\thetacos2θ=1−sin2θ
 を使う：
3sin⁡θcos⁡2θ−sin⁡3θ=3sin⁡θ(1−sin⁡2θ)−sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θ3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\
=3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\
=-4\sin^3\theta+3\sin\theta3sinθcos2θ−sin3θ=3sinθ(1−sin2θ)−sin3θ=−4sin3θ+3sinθ
続いて，
cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\thetacos3θ=4cos3θ−3cosθ
を証明する。まず，3θ=θ+2θ3\theta=\theta+2\theta3θ=θ+2θ
 と分解して，加法定理を使う：
cos⁡3θ=cos⁡(θ+2θ)=cos⁡θcos⁡2θ−sin⁡θsin⁡2θ\cos 3\theta\\
=\cos(\theta+2\theta)\\
=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\thetacos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ−sinθsin2θ
さらに，2θ=θ+θ2\theta=\theta+\theta2θ=θ+θ
 と分解して，加法定理を使う：
cos⁡θcos⁡2θ−sin⁡θsin⁡2θ=cos⁡θcos⁡(θ+θ)−sin⁡θsin⁡(θ+θ)=cos⁡θ(cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θsin⁡θ)  −sin⁡θ(sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ)=−3sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡3θ\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\
=\cos\theta\cos (\theta+\theta)-\sin\theta\sin (\theta+\theta)\\
=\cos\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\
\:\:-\sin\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\
=-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\thetacosθcos2θ−sinθsin2θ=cosθcos(θ+θ)−sinθsin(θ+θ)=cosθ(cosθcosθ−sinθsinθ)−sinθ(sinθcosθ+cosθsinθ)=−3sin2θcosθ+cos3θ
最後に，sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\thetasin2θ=1−cos2θ
 を使う：
−3sin⁡2θcos⁡θ+cos⁡3θ=−3(1−cos⁡2θ)cos⁡θ+cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta\\
=-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\cos^3\theta\\
=4\cos^3\theta-3\cos\theta−3sin2θcosθ+cos3θ=−3(1−cos2θ)cosθ+cos3θ=4cos3θ−3cosθ

三倍角の公式を覚えるか？倍角の公式を覚えておけば，三倍角の公式の導出も少し楽になるので，「加法定理」と「倍角の公式」は覚えて「三倍角の公式」は毎回導出する，というのがおすすめです。
実際，加法定理や倍角の公式は頻出ですが，三倍角の公式の使用頻度は高くありません。ただし，暗記しない場合でも三倍角の公式の導出は1分以内にできるようになっておきたいです。

三倍角の公式の応用例三倍角の公式を使えば，3θ3\theta3θ
 の三角関数を
θ\thetaθ
 の三角関数に直すことができます。例えば，
sin⁡3θ=sin⁡θ\sin 3\theta=\sin\thetasin3θ=sinθ のように，3θ3\theta3θ
 と
θ\thetaθ
 が混在した三角方程式を解くことができます。
他にも，三倍角の公式を，
sin⁡3θ=34sin⁡θ−14sin⁡3θ\sin^3\theta=\dfrac{3}{4}\sin\theta-\dfrac{1}{4}\sin 3\thetasin3θ=43​sinθ−41​sin3θ
と見ることで，sin⁡3θ\sin^3\thetasin3θ
 の積分が計算できたりもします。

変形三倍角の公式

三倍角の公式を用いて以下の美しい公式が導かれる:

$\sin3\theta=-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)\\\cos3\theta=4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ)$

この公式は例えば，フランクモーリーの定理の証明に用いられます。猛者は数学オリンピックの本戦対策として覚えておいてもよいでしょう。 →フランク・モーリーの定理の証明

右辺を加法定理で展開すれば三倍角の公式の右辺と一致することが確認できるので証明は難しくありません。

三倍角の公式の右辺を因数分解して合成を行うことでも証明できます。

証明

$\sin3\theta\\ =-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ =\sin\theta(-4\sin^2\theta+3)\\ =\sin\theta(-\sin^2\theta+3\cos^2\theta)\\ =\sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)\\ =-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)$

$\cos3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ =\cos\theta(4\cos^2\theta-3)\\ =\cos\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\\ =\cos\theta(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)(\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta)\\ =4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ)$

フランクモーリー以外では使わないと思いますがなかなか綺麗な公式です。

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