フランク・モーリーの定理の証明

証明の道具

フランクモーリーの定理の証明はいくつか知られていますが，まずはどの道具を使うか考えます。

一般に図形の性質を証明する方法は大きく分けて3つあります：

しかし，一般的に 座標やベクトルは「直角以外の角度を扱うのが難しい」のでフランクモーリーの定理の証明には向いていません。そこで，このページでは三角関数を用いてゴリゴリ計算する方法で証明していきます。

ちなみに，図形的な性質だけでフランクモーリーの定理を証明する方法は三角形と円の幾何学という本に載っています。

証明の方針

$QR$ の長さを三角形 $ABC$ の情報（角度，長さ）で表したときに，$A, B, C$ に関して対称であることを示せれば $PQ=QR=RP$ が言えます。そこで，三角形 $ARQ$ に余弦定理を使いたくなります。そのためには，$AR,AQ$ を三角形 $ABC$ の情報で表す必要があるので，三角形 $ARB$ に注目します。

また， 辺の情報と角度の情報が混在していると複雑になるので，辺の情報は正弦定理で角度の情報に変換します。（外接円の半径 $R$ は $A, B, C$ に関して「対称」なので扱い易い)

$AR$ の形をにらんで変形三倍角の公式がひらめくとよいです。（→三倍角の公式と変形三倍角の公式）ここがこの証明一番の難所です。

フランクモーリーの定理の証明

補足1： $\angle ARQ, \angle AQR$ は，

$\angle ARQ+\angle AQR=\pi-\dfrac{A}{3}=\dfrac{2\pi+B+C}{3}$

及び，正弦定理から $\dfrac{AQ}{\sin\angle ARQ}=\dfrac{AR}{\sin\angle AQR}$

という2つの式を満たす。

これを，$\angle ARQ, \angle AQR$ の連立方程式とみなすと，$\left(\dfrac{\pi+B}{3},\dfrac{\pi+C}{3}\right)$ が解になっていることが，上記の証明中の議論から分かる。

そして，それ以外の解が（$0< \angle ARQ < \pi$ の範囲で）存在しないことも分かる（1つめの式を $\angle AQR$ について解いて，2つめの式に代入して変形していくと確認できる）

補足2：

例えば，

$\angle QRP=2\pi-\angle ARB-\angle ARQ-\angle BRP\\ =2\pi-(\pi-\dfrac{A}{3}-\dfrac{B}{3})-(\dfrac{\pi+B}{3})-(\dfrac{\pi+A}{3})\\ =\dfrac{\pi}{3}$

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