フランク・モーリーの定理の証明

三角形 $ARB$ に正弦定理を用いて $AR$ を三角形 $ABC$ の情報で表す：

$AR=\dfrac{c\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\pi-\tfrac{A}{3}-\tfrac{B}{3})}\\ =\dfrac{c\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\tfrac{A+B}{3})}\\ =2R\sin C\dfrac{\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\tfrac{\pi-C}{3})}$

ただし，最後の変形で三角形 $ABC$ に正弦定理を用いた。

ここで，変形三倍角の公式： $$\sin C=4\sin\dfrac{C}{3}\sin\left(\dfrac{\pi-C}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi+C}{3}\right)$$ を用いると $$AR=8R\sin\dfrac{B}{3}\sin\dfrac{C}{3}\sin\left(\dfrac{\pi+C}{3}\right)$$

同様にして， $$AQ=8R\sin\dfrac{B}{3}\sin\dfrac{C}{3}\sin\left(\dfrac{\pi+B}{3}\right)$$

出てきた式より， $$\dfrac{AQ}{\sin\left(\dfrac{\pi+B}{3}\right)}=\dfrac{AR}{\sin\left(\dfrac{\pi+C}{3}\right)}$$ が分かるので，補足1から， $$\angle ARQ=\dfrac{\pi+B}{3}, \angle AQR=\dfrac{\pi+C}{3}$$

が分かる。他の角も同様に求めることができ，

$\angle PQR=\angle QRP=\angle RPQ=\dfrac{\pi}{3}$ が分かる（→補足2）。