Hlawka's Inequality とその証明

Hlawka’s Inequality を証明する前に，関連する恒等式である Hlawka’s Identity（フラカの恒等式）を紹介します。

実際，両辺をそれぞれ展開すると，一致することが簡単に確認できます。

また，Hlawka’s Identity で $z=-y$ として整理すると， $2|x|^2+2|y|^2=|x+y|^2+|x-y|^2$ あるいは $\displaystyle |x|^2+|y|^2=2\left|\frac{x+y}{2}\right|^2+2\left|\frac{x-y}{2}\right|^2$ となり，中線定理（を複素数平面で表現したもの）と一致します。

両辺2乗して，三角不等式を使います。Hlawka’s Identity を知っていると見通しが良いです。

※ $AB+C(A+B+C)=(C+A)(C+B)$ という式はたまに使うので覚えておくとよいでしょう。

三角不等式

$$|x|+|y|-|x+y|\geq 0$$ と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\geq 0$$ はなんとなく似ています。

Hlawka’s Inequality：

$$|x|+|y|+|z|+|x+y+z| -|x+y|-|y+z|-|z+x|\geq 0$$

と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：

$$\begin{aligned} &|A\cup B\cup C|\\ &=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C| -|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|\geq 0 \end{aligned}$$

はなんとなく似ています。

※「または」と「かつ」を交換した等式：

$$\begin{aligned} &|A\cap B\cap C|\\ &=|A|+|B|+|C|+|A\cup B\cup C|-|A\cup B|-|B\cup C|-|C\cup A|\geq 0 \end{aligned}$$

の方が，より Hlawka’s Identity に似ていると感じる方もいるでしょう。

（包除原理の２通りの証明の記事末参照）

参考文献：

• Hlawka’s Inequality