Hlawka's Inequality とその証明

更新 2022/04/08

Hlawka’s Inequality

任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して， $|x|+|y|+|z|+|x+y+z| \geq |x+y|+|y+z|+|z+x|$ が成立する。

Hlawka’s Inequality（フラカの不等式）について紹介します。

Hlawka’s Identity

Hlawka’s Inequality を証明する前に，関連する恒等式である Hlawka’s Identity（フラカの恒等式）を紹介します。

Hlawka’s Identity

任意の複素数 $x,\:y,\:z$ に対して， $|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2 = |x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2$ が成立する。

実際，両辺をそれぞれ展開すると，一致することが簡単に確認できます。

また，Hlawka’s Identity で $z=-y$ として整理すると， $2|x|^2+2|y|^2=|x+y|^2+|x-y|^2$ あるいは $\displaystyle |x|^2+|y|^2=2\left|\frac{x+y}{2}\right|^2+2\left|\frac{x-y}{2}\right|^2$ となり，中線定理（を複素数平面で表現したもの）と一致します。

Hlawka’s Inequality の証明

両辺2乗して，三角不等式を使います。Hlawka’s Identity を知っていると見通しが良いです。

証明

$x=y=z=0$ のときは不等式は成立する。そうでないとき，両辺は正なので2乗しても大小関係は変わらない。

左辺の2乗は，

$\begin{aligned} &(|x|+|y|+|z|+|x+y+z|)^2 \\ &=|x|^2+|y|^2+|z|^2+|x+y+z|^2\\ &\quad\quad +2|x||y|+2|y||z|+2|z||x|+2(|x|+|y|+|z|)|x+y+z| \end{aligned}$

である。一方で右辺の2乗は，

$\begin{aligned} &(|x+y|+|y+z|+|z+x|)^2\\ &=|x+y|^2+|y+z|^2+|z+x|^2\\ &\quad\quad +2|x+y||y+z|+2|y+z||z+x|+2|z+x||x+y| \end{aligned}$

となる。Hlawka’s Identity より，それぞれの1行目が打ち消し合う。さらに， $|x||y|=|xy|$ より，示したい不等式は， $\begin{aligned} &|xy|+|yz|+|zx|\\ &\quad\quad+|z(x+y+z)|+|x(x+y+z)|+|y(x+y+z)|\\ &\geq |(x+y)(y+z)|+|(y+z)(z+x)|+|(z+x)(x+y)| \end{aligned}$

となる。

これは，以下の3つの三角不等式を足し上げることで導かれる：

$|xy|+|z(x+y+z)|\geq |(z+x)(z+y)|\\ |yz|+|x(x+y+z)|\geq |(x+y)(x+z)|\\ |zx|+|y(x+y+z)|\geq |(y+x)(y+z)|$

※ $AB+C(A+B+C)=(C+A)(C+B)$ という式はたまに使うので覚えておくとよいでしょう。

集合の要素数についての等式との関係

三角不等式
∣x∣+∣y∣−∣x+y∣≥0
|x|+|y|-|x+y|\geq 0
∣x∣+∣y∣−∣x+y∣≥0
と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣≥0
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\geq 0
∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣≥0
はなんとなく似ています。
Hlawka’s Inequality：
∣x∣+∣y∣+∣z∣+∣x+y+z∣−∣x+y∣−∣y+z∣−∣z+x∣≥0
|x|+|y|+|z|+|x+y+z| -|x+y|-|y+z|-|z+x|\geq 0
∣x∣+∣y∣+∣z∣+∣x+y+z∣−∣x+y∣−∣y+z∣−∣z+x∣≥0
と，集合の要素数についての公式から導かれる不等式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣A∩B∩C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣≥0\begin{aligned}
&|A\cup B\cup C|\\
&=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C| -|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|\geq 0
\end{aligned}​∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣A∩B∩C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣≥0​
はなんとなく似ています。
※「または」と「かつ」を交換した等式：
∣A∩B∩C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣A∪B∪C∣−∣A∪B∣−∣B∪C∣−∣C∪A∣≥0\begin{aligned}
&|A\cap B\cap C|\\
&=|A|+|B|+|C|+|A\cup B\cup C|-|A\cup B|-|B\cup C|-|C\cup A|\geq 0
\end{aligned}​∣A∩B∩C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣A∪B∪C∣−∣A∪B∣−∣B∪C∣−∣C∪A∣≥0​
の方が，より Hlawka’s Identity に似ていると感じる方もいるでしょう。
（包除原理の２通りの証明の記事末参照）

Hlawka’s Inequality の一般化

内積空間 $V$ とその任意の元 $x,y,z\in V$ に対して，

$\|x\|+\|y\|+\|z\|+\|x+y+z\| \geq \|x+y\|+\|y+z\|+\|z+x\|$

（ただし， $\|\cdot\|$ は内積により誘導されるノルム）

参考文献：

[1]Hlawka’s Inequality

[2]CONVEX FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS P101

基本的には3変数で対称な不等式が好きですが，こういう違うタイプの不等式も楽しいです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！