ベルヌーイの不等式

$n=1$ のとき，両辺共に $1+x_i$ となるので成立。

$n=k-1$ のとき，

$$\prod_{i=1}^{k-1}(1+x_i)\geq 1+\sum_{i=1}^{k-1}x_i$$

と仮定すると，両辺に $(1+x_k)$ をかけることにより，

$$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{k} (1+x_i) &\geq \left( 1+\sum_{i=1}^{k-1}x_i \right)(1+x_k)\\ &=1+\sum_{i=1}^{k}x_i+x_k \left(\sum_{i=1}^{k-1}x_i \right)\\ &\geq 1+ \sum_{i=1}^{k}x_i \end{aligned}$$

（ただし，最後の不等号は $x_i$ たちが全て同符号であることによる）

となり $n=k$ のときも成立する。

$f(x)=(1+x)^{\alpha}-(1+\alpha x)$ とおく。

ここで，$f'(x)=\alpha\{(1+x)^{\alpha-1}-1\}$，$f(0)=0$ に注意して $f'(x)$ の符号を考える。

例えば $\alpha \geq 1$ のとき， $(1+x)^{\alpha-1} - 1$ の符号は， $x > 0$ のとき正，$x < 0$ のとき負となるので，$f(x)\geq 0$ が分かる。

他の場合も同様である。

分母を払うために，

• $\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}=x$
• $\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}=y$
• $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=z$

と変数変換する。

逆変換は $a=\left(\dfrac{y+z}{2}\right)^2$ などとなり，これを用いて頑張って計算すると，

$$\dfrac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}=\sqrt{\dfrac{x^2+xy+zx-yz}{2x^2}}$$

ルートを外したいので $\alpha=\dfrac{1}{2}$ のベルヌーイの不等式を用いる。そのためにルートの中身を $(1+X)$ という形にする：

$$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{x^2+xy+zx-yz}{2x^2}} &=\sqrt{1-\dfrac{(x-y)(x-z)}{2x^2}}\\ &\leq 1-\dfrac{(x-y)(x-z)}{4x^2} \end{aligned}$$

これを用いて左辺を整理すると，$r=-2$ の場合のSchurの不等式となる。

$$\sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{(x-y)(x-z)}{x^2}\geq 0$$