ルジャンドル変換の意味と具体例

• ルジャンドル変換(Legendre transformation)とは，関数 $f(x)$ から別の関数 $g(p)$ を作りだす操作です。
• ルジャンドル変換は解析力学，熱力学，最適化理論などの分野で用いられます。応用の文脈では $f$ 側の変数と $g$ 側の変数は違う意味を持つ量なので，この記事では $f$ 側の変数は文字 $x$，$g$ 側の変数は文字 $p$ を使います。
• なお，$\max$ が存在しないこともあるので厳密な議論が必要なときは $\sup$ を用いるべきです（今回は大雑把な説明が目標なので $\max$ を使います）。→sup（上限）とinfの意味，maxとの違い

ここから先は $f(x)$ が下に凸な場合を考えます（注）。→上に凸，下に凸な関数と二階微分

$f(x)$ のルジャンドル変換 $g(p)$ は，傾き $p$ の直線で $f(x)$ と交わるものの中で一番下側にあるものの切片（にマイナスをつけたもの）という意味を持ちます。

つまり，ルジャンドル変換は同じ曲線を

$x$ 座標，$y$ 座標： $(x,f(x))$ で表現する代わりに

接線の傾き，切片： $(p,-g(p))$ で表現したもの

とみなせます。

注：ルジャンドル変換の対象として下に凸な関数を扱うことが多いです。 $f(x)$ が下に凸でなくてもルジャンドル変換は定義できますが，その場合「2回施すと元に戻る」などの嬉しい性質は成り立ちません。

$g(p)=\displaystyle\max_{x}\{px-f(x)\}$ がルジャンドル変換の定義でした。

$f(x)$ は下に凸なので，多くの場合(→補足)，右辺の $px-f(x)$ が最大となるのは，微分係数が $0$ となる点です。つまり，$p=f'(x)$ となる点で最大となります。つまり以下が成立します：

これをルジャンドル変換の定義としている教科書も多いので注意が必要です。

補足：例えば，$f(x)$ が $C^1$ 級で $f'(x)=p$ となる $x$ が存在するならばOKです。