二次関数の決定とその背景

求める二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおく。

$(1,0)$ を通るので，$x=1,y=0$ を代入すると

$0=a+b+c$

同様に，$(2,3),(3,8)$ を通るので

$$3=4a+2b+c\\ 8=9a+3b+c$$

この連立方程式を解くと，$a=1,b=0,c=-1$ となる。

よって，求める二次関数は $y=x^2-1$ である。

求める二次関数を $y=a(x-p)^2+q$ とおく。

頂点の座標が $(1,1)$ なので，$p=q=1$ である。

よって，二次関数の式は

$$y=a(x-1)^2+1$$

となる。この式に $(2,2)$ を代入すると

$$2=a(2-1)^2+1$$

となる。これを解くと

$$2=a+1\\ a=1$$

となる。よって，求める二次関数は， $y=(x-1)^2+1$ である。

求める二次関数を $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ とおく。

$x$ 軸との交点が $(1,0)$ と $(2,0)$ なので，$x_1=1,x_2=2$ が分かる：

$$y=a(x-1)(x-2)$$

この式に $(0,2)$ を代入すると，

$$2=a(-1)(-2)$$

よって，$a=1$ である。

つまり，求める二次関数は $y=(x-1)(x-2)$ である。

$y=f(x),　y=g(x)$ が与えられた点をすべて通る $n$ 次以下の関数とすると，

$$f(x_i)=g(x_i)\:(i=1,2,\cdots,n+1)$$ である。

$h(x) = f(x) - g(x)$ とおくと，各 $k \ (1 \leqq k \leqq n+1)$ について $h(x_k) = 0$ である。

よって，因数定理より，

$$f(x)-g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{n+1})$$

となる。

$a=0$ でないと右辺が $n+1$ 次になってしまうので $a=0$ である。

すなわち $f(x)=g(x)$ である。