二次関数の軸と頂点の求め方など

$y=2x^2+3x-1$ を平方完成する。

$y=2\left(x^2+2\cdot\dfrac{3}{4}x\right)-1$
$y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}-1$
$y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{17}{8}$

よって，

• 軸の方程式は $x=-\dfrac{3}{4}$
• 頂点の座標は $\left(-\dfrac{3}{4},-\dfrac{17}{8}\right)$

$y=ax^2+bx+c$ を平方完成する：

$y=a\left(x^2+2\cdot\dfrac{b}{2a}x\right)+c$
$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$
$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$

よって，軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$，頂点の座標は $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

公式において，$a=2,b=3,c=-1$ とすると，

• 軸の方程式は $x=-\dfrac{3}{2\cdot 2}$，つまり $x=-\dfrac{3}{4}$
• 頂点の $y$ 座標は $\dfrac{-3^2+4\cdot 2\cdot (-1)}{4\cdot 2}=-\dfrac{17}{8}$

実数解を持つ場合にしか通用しない考え方だが，頂点の $x$ 座標は二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の平均である。この二次方程式の解の和は解と係数の関係より $-\dfrac{b}{a}$ であるので，これを $2$ で割れば頂点の $x$ 座標が求まる。

二次関数において，接線の傾きが $0$ となる点が頂点なので，その $x$ 座標は $y'=0$ の解として求まる。

$y'=2ax+b$ より $x=-\dfrac{b}{2a}$ と分かる。