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二次関数の軸と頂点の求め方など

更新日時 2021/03/07

二次関数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c において,

軸の方程式は x=b2ax=-\dfrac{b}{2a}

頂点の座標は (b2a,b2+4ac4a)\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)

非常に基本的な公式です。この公式の導出,例題,および軸の方程式のいくつかの解釈(覚え方)を解説します。

目次
  • 軸の方程式,頂点の座標の導出

  • 例題

  • 公式を覚えるべきか

  • 軸の方程式(頂点の xx 座標)の他の解釈

軸の方程式,頂点の座標の導出

二次関数の軸,頂点は平方完成すれば求まります!

二次関数の軸と頂点

(導出)

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c を平方完成する:

y=a(x2+2b2ax)+cy=a\left(x^2+2\cdot\dfrac{b}{2a}x\right)+c y=a(x+b2a)2b24a+cy=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c y=a(x+b2a)2+b2+4ac4ay=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a}

よって,軸の方程式は x=b2ax=-\dfrac{b}{2a} ,頂点の座標は (b2a,b2+4ac4a)\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right) だと分かる。

例題

例題

二次関数 y=2x2+3x1y=2x^2+3x-1 の軸の方程式と頂点の yy 座標を求めよ。

解答1(公式を丸暗記しておく方法):

冒頭の公式より,

  • 軸の方程式は x=322x=-\dfrac{3}{2\cdot 2},つまり x=34x=-\dfrac{3}{4}
  • 頂点の yy 座標は 32+42(1)42=178\dfrac{-3^2+4\cdot 2\cdot (-1)}{4\cdot 2}=-\dfrac{17}{8}
解答2(ちゃんと平方完成する方法):

平方完成していくと,y=2(x2+234x)1y=2\left(x^2+2\cdot\dfrac{3}{4}x\right)-1 y=2(x+34)2981y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}-1 y=2(x+34)2178y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{17}{8}

つまり軸の方程式は x=34x=-\dfrac{3}{4} ,頂点の yy 座標は 178-\dfrac{17}{8}

となります。

公式を覚えるべきか

  • 毎回平方完成すればよいだけなので,軸の方程式や頂点の座標の公式は覚えなくても問題はありません(平方完成の修得は必須です)。
  • ただし,二次関数の軸の方程式(頂点の xx 座標)が必要になる機会は非常に多いため,b2a-\dfrac{b}{2a} は覚えてしまうことをオススメします。
  • 頂点の yy 座標は(覚えなくても構いませんが)判別式DD としてD4a-\dfrac{D}{4a} と書けば覚えやすいです。

軸の方程式(頂点の xx 座標)の他の解釈

x=b2ax=-\dfrac{b}{2a} は平方完成すればすぐに導出できましたが,他の理解の方法もあります。

(微分による理解)

二次関数において,接線の傾きが 00 となる点が頂点なので,その xx 座標は y=0y'=0 の解として求まる。

y=2ax+by'=2ax+b より x=b2ax=-\dfrac{b}{2a} と分かる。

(解の平均としての理解)

実数解を持つ場合にしか通用しない考え方だが,頂点の xx 座標は二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解の平均である。この二次方程式の解の和は解と係数の関係より ba-\dfrac{b}{a} であるので,これを 22 で割れば頂点の xx 座標が求まる。

たとえ簡単であったとしても,高校数学の教科書に載っている公式は網羅したいです。

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