単位ベクトルの求め方といろいろな具体例

• $(1,0)$ というベクトルは長さが1なので単位ベクトルです。

• $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ というベクトルは長さが1なので単位ベクトルです。実際，長さは三平方の定理より $\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1$ になります。

• $(-1,1)$ というベクトルは長さが $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$ なので単位ベクトルではありません。

ベクトル $\overrightarrow{a}$ をその長さ $|\overrightarrow{a}|$ で割れば単位ベクトルになります。

このように，$\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ というベクトルは，

• $\overrightarrow{a}$ の定数倍なので，$\overrightarrow{a}$ と同じ向きです。
• 自分の長さで割っているので，割った後の長さは1になります。つまり単位ベクトルです。

このように「同じ向き」で「長さを1にする」操作を正規化と言うことがあります。

平行な単位ベクトル

平行な単位ベクトルを計算する問題です！

同じ向きの単位ベクトルに加えて，同じ向きの単位ベクトルと逆向きのベクトルも平行な単位ベクトルになります。

例題1では平面ベクトルについて考えましたが，空間ベクトルについても $\dfrac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$ で自分と同じ向きの単位ベクトルを計算できます。

余談： $(1,1,\cdots,1)$ はいろいろなところに登場する重要なベクトルです。

単位ベクトルについて覚えておくべきこととして，内積との関係を載せておきます。

なす角を $\theta$ とすると $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{e}|\cos\theta=|\overrightarrow{a}|\cos\theta$ だからです。