回転放物面の方程式と東大の問題

$(x,y,0)$ と $(\sqrt{x^2+y^2},0,0)$ は回転軸からの距離が等しい。

よって，$(x,y)$ における $z$ の値は $(\sqrt{x^2+y^2},0)$ における $z$ の値と等しく，その値は $f(\sqrt{x^2+y^2})$ である。

よって，求める方程式は

$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$ である。

回転放物面 $K$ の方程式は，$y=\dfrac{3}{4}-x^2-z^2$

平面 $H$ の方程式は，法線ベクトルが $(-1,1,0)$ なので，$y=x$ →平面の方程式とその3通りの求め方

よって，$z$ 軸に垂直な平面 $z=t$ で切った切り口（注1）は

$x\leq y\leq \dfrac{3}{4}-x^2-t^2$

で表される領域。（以下は回転放物面の知識は関係ありません）

また，図の $A,\:B$ の $x$ 座標は $x=\dfrac{3}{4}-x^2-t^2$ を解いて，$-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{1-t^2}$

よって，青い図形が存在するような $t$ の範囲は $-1\leq t\leq 1$ であり，そのときの青い図形の面積は $\dfrac{1}{6}$ 公式（注2）より

$\dfrac{1}{6}(2\sqrt{1-t^2})^3$

よって，求める体積は

$\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{6}(2\sqrt{1-t^2})^3dt$

$t=\cos\theta$ と置換するなりして計算すると $\dfrac{\pi}{2}$ となる。