三項間漸化式の3通りの解き方

特性方程式 $x^2-5x+6=0$ の解は $x=2,3$ であり，漸化式は以下のように変形できる：

$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_{n})$

$a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_{n})$

よって，上の式から $a_{n+1}-2a_n$ は公比 $3$ の等比数列となる：

$a_{n+1}-2a_n=3^{n-1}(a_2-2a_1)=-3^{n-1}$

同様に下の式から $a_{n+1}-3a_n$ は公比 $2$ の等比数列となる：

$a_{n+1}-3a_n=2^{n-1}(a_2-3a_1)=-2^n$

以上2つの式から $a_{n+1}$ を消去する：

$a_n=2^n-3^{n-1}$

特性方程式 $x^2-5x+6=0$ の解は $x=2,3$ である。…(1)

一般項を以下の形と予想する。

$a_{n}=2^nA+3^nB$

実際に漸化式に代入すると成立していることが分かる。…(2)

ここで，$n=1,2$ を代入すると，

$1=2A+3B,1=4A+9B$

これを解いて $A=1,B=-\dfrac{1}{3}$

よって，$a_{n}=2^n-3^{n-1}$

与えられた漸化式は行列を用いて以下のように変形できる：

$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5&-6\\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix}$

よって，この式を繰り返し用いると，

$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5&-6\\ 1&0\end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} a_{2}\\a_{1}\end{pmatrix}$

となるので，行列の $n$ 乗（正確には $n-1$ 乗）を求める問題に帰着される。

行列の $n$ 乗は対角化なり予想して帰納法なりで解くことができる（詳細省略）。