一次変換の意味と重要な5つの例（折り返し・回転・対称移動）

この変換によって，$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ という点は

$$\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}$$

に写る。つまり，$y$ 座標だけをマイナス１倍する変換なので「$x$ 軸に関する折り返し」を表す。

この変換によって，$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ という点は

$$\begin{pmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}$$

に写る。つまり，$x$ 座標だけをマイナス１倍する変換なので「$y$ 軸に関する折り返し」を表す。

この変換によって，$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ という点は $\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}$

に写る。これは，原点に関する対称移動。

この変換によって，$\begin{pmatrix}r\cos\alpha\\r\sin\alpha\end{pmatrix}$ という点は

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r\cos\alpha\\r\sin\alpha\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)\\r(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}r\cos(\theta+\alpha)\\r\sin(\theta+\alpha)\end{pmatrix} \end{aligned}$$

に写る。ただし，最後の等号は三角関数の加法定理を用いた。

これは，原点を中心に反時計回りに $\theta$ 回転させることを表す。

原点を通る傾きが $\tan\theta$ の直線 $l$ を, 時計回りに $\theta$ 回転させると $x$ 軸と一致する。

よって，「直線 $l$ に関する折り返し」は以下の3つの変換の合成：

1. 原点中心に $-\theta$ 回転(赤色)
2. $x$ 軸に関して対称移動(緑色)
3. 原点中心に $\theta$ 回転(青色)

よって，$L_{\theta}=R_{\theta}A_XR_{-\theta}$ となる（変換は右からされるので積の順番に注意）。

よって，$L_{\theta}$ は，

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

となる。この行列積を，倍角の公式を用いて計算すると

$$L_\theta=\begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$$

となる。