同じ誕生日の二人組がいる確率について

余事象の考え方で求める。

誕生日が全員バラバラとなる確率は，

（二人目が一人目と異なる確率）$\times$ （三人目が最初の二人と異なる確率）$\times\cdots\times$ （$n$ 人目も異なる確率）

なので，

$\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\cdots\times\dfrac{365-(n-1)}{365}\\=\dfrac{{}_{364}\mathrm{P}_{n-1}}{365^{n-1}}\\ =\dfrac{{}_{365}P_n}{365^n}$

よって，求める確率は，

$1-\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^{n}}$

特定の二人組が同じ誕生日になる確率は $\dfrac{1}{365}$ であり，珍しいことだから上記の確率は小さい（$\dfrac{n}{365}$ くらい？）はず

「$n$ 人の中で二人組は ${}_n\mathrm{C}_2$ 通りあり，$n$ に比べてだいぶ多い。だからその中で一組くらいは珍しいことが起こっても不思議ではない」

今回も余事象を考える。

6人を誕生日ごとにグループ分けする。3人以上のグループができない確率を求める。各グループの人数を並べて表記すると，以下の4パターンに分かれる。

• （1,1,1,1,1,1）
  これはさきほどの問題で余事象として求めた： $\dfrac{{}_{364}\mathrm{P}_{5}}{365^{5}}$

• （2,1,1,1,1）
  二人組の選び方が ${}_6\mathrm{C}_2$ 通り。 $5$ グループの誕生日の選び方は ${}_{365}\mathrm{P}_{5}$ 通り。よって，このようになる確率は ${}_6\mathrm{C}_2\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{5}}{365^{6}}$

• (2,2,1,1）
  同様に，確率は $\dfrac{{}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2}{2}\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{4}}{365^{6}}$

• （2,2,2）
  同様に，確率は $\dfrac{{}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2}{3!}\dfrac{{}_{365}\mathrm{P}_{3}}{365^{6}}$

よって，求める確率は

$1-\dfrac{1}{365^6}\displaystyle\sum_{k=0}^3\dfrac{a_k}{k!}{}_{365}\mathrm{P}_{6-k}$

ただし，$a_0=1$ ，$a_1={}_6\mathrm{C}_2,\:a_2={}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2,\:a_3={}_6\mathrm{C}_2\cdot {}_4\mathrm{C}_2\cdot {}_2\mathrm{C}_2$