1/sinx（サイン分の1）と1/cosx（コサイン分の1）の積分

サイン分の1の積分

被積分関数の分母と分子に $\sin x$ をかけて，部分分数分解します。

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\sin x} &= \dfrac{\sin x}{\sin^2 x}\\ &= \dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}\\ &= \dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right) \end{aligned}$$

ここで，公式 $\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime} (x)}{f(x)}dx=\log | f(x) |+C$ を用いて上の式を積分します：

コサイン分の1の積分

こちらも同様の式変形をします：

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\cos x} &= \dfrac{\cos x}{\cos^2 x}\\ &= \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}\\ &= \dfrac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right) \end{aligned}$$

方法1はおもしろいですが，やり方を知らないと思いつくのは難しいです。

実は，$\sin x, \cos x$ の有理式に対しては，万能な方法があります。すなわち，$\tan \dfrac{x}{2}=t$ と置換すれば，手間はかかりますが，必ず積分できます。

積分計算の準備

$\tan \dfrac{x}{2}=t$ とおくと，$\sin x, \cos x$ は $t$ を用いて以下のように表すことができます。

$$\begin{aligned} \sin x &= 2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}\\ &= 2\tan \dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}\\ &= \dfrac{2t}{1+t^2}\\ \cos x &= 2 \cos^2 \dfrac{x}{2} - 1\\ &= \dfrac{2}{1+t^2} - 1\\ &= \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \end{aligned}$$

また，$t=\tan\dfrac{x}{2}$ を $x$ で微分すると，

$$\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}} = \dfrac{1}{2} (1+t^2)$$

実際に積分を行う

$$\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\sin x}dx &= \int \dfrac{1+t^2}{2t}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ &= \log |t|+C\\ &=\log |\tan\dfrac{x}{2}|+C\\ \int\dfrac{1}{\cos x}dx &= \int \dfrac{1+t^2}{1-t^2}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ &= \int\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)dt\\ &= \log \left|\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right|+C \end{aligned}$$

方法1と方法2の答えは一見異なるように見えますが，答えは（定数を除いて）一致しているはずです。よって，以下がわかります。 $$\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} = \left( \tan\dfrac{x}{2} \right)^2+C_1\\ \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} = \left(\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right)^2+C_2$$ そして $x=0$ を代入すると $C_1=C_2=0$ がわかります。

実際，三角関数の倍角の公式などを使って，以下の関係式を導けます： $$\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} = \left( \tan\dfrac{x}{2} \right)^2\\ \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} = \left(\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right)^2$$ 一つの問題を異なった方法で解き，一見同じだとわからない2つの解を得ることで，関係式を見つけることができました！

追記：こんな方法もあります（読者の方に教えていただきました）！

$$\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sin x} &= \int\dfrac{dx}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\\ &= \int\dfrac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2}}\\ &= \log \left| \tan\dfrac{x}{2} \right|+C \end{aligned}$$

また，$\cos x=-\sin \left( x-\dfrac{\pi}{2} \right)$ に注意すると，

$$\int\dfrac{dx}{\cos x}=-\log\left| \tan \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C$$

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ , $\mathrm{cosec} \ x=\dfrac{1}{\sin x}$ に注意すると，以下のように表すこともできます。

参考：三角関数sec, cosec, cotと記号の意味 $$\begin{aligned} \int \mathrm{cosec} \ xdx &= -\log|\mathrm{cosec}\ x+\cot x|+C\\ \int \sec xdx &= \log|\sec x+\mathrm{tan}\:x|+C \end{aligned}$$ 上の表し方が冒頭の公式と同じであることは，以下のように確認できます：

$$\begin{aligned} -&\log|\mathrm{cosec}\ x+\cot x |\\ &= -\log\left(\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}\\ &= \dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\log|\sec x+\tan x|\\ &=\log\left(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2x}\\ &=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} \end{aligned}$$

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