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サイン分の1,コサイン分の1の積分

更新日時 2021/03/07

1sinxdx=12log(1cosx1+cosx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C

1cosxdx=12log(1+sinx1sinx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

サイン分の1,コサイン分の1の積分のやり方を解説します。方法は複数あります。

目次
  • 方法1:部分分数分解を使った積分

  • 方法2:有名な置換積分を用いる方法

  • 方法1と方法2の結果を比べる

  • 方法3

  • sec、cosec、cot を用いた表現

方法1:部分分数分解を使った積分

サイン分の1の積分

被積分関数の分母と分子に sinx\sin x をかけて,部分分数分解します。

1sinx=sinxsin2x=sinx1cos2x=sinx(1cosx)(1+cosx)=12(sinx1cosx+sinx1+cosx)\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\sin^2 x}\\ =\dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}\\ =\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right)

ここで,公式 f(x)f(x)dx=logf(x)\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\log | f(x) | を用いて上の式を積分します:

1sinxdx=12(sinx1cosx+sinx1+cosx)dx=12{log(1cosx)log(1+cosx)}+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x})dx\\ =\dfrac{1}{2}\{\log(1-\cos x)-\log(1+\cos x)\}+C

=12log(1cosx1+cosx)+C=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C

コサイン分の1の積分

こちらも同様の式変形をします:

1cosx=cosxcos2x=cosx1sin2x=cosx(1sinx)(1+sinx)=12(cosx1sinx+cosx1+sinx)\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{\cos^2 x}\\ =\dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}\\ =\dfrac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)

1cosxdx=12(cosx1sinx+cosx1+sinx)dx=12{log(1sinx)+log(1+sinx)}+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x})dx\\ =\dfrac{1}{2}\{-\log(1-\sin x)+\log(1+\sin x)\}+C

=12log(1+sinx1sinx)+C=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

方法1はおもしろいですが,やり方を知らないと思いつくのは難しいです。

方法2:有名な置換積分を用いる方法

実は,sinx,cosx\sin x, \cos x の有理式に対しては,万能は方法があります。すなわち, tanx2=t\tan \dfrac{x}{2}=t と置換すれば,手間はかかりますが,必ず積分できます。

積分計算の準備

tanx2=t\tan \dfrac{x}{2}=t とおくと,sinx,cosx\sin x, \cos xtt を用いて以下のように表すことができます。

sinx=2sinx2cosx2=2tanx2cos2x2=2t1+t2\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ =2\tan\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\ =\dfrac{2t}{1+t^2}

cosx=2cos2x21=21+t21=1t21+t2\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\ =\dfrac{2}{1+t^2}-1\\ =\dfrac{1-t^2}{1+t^2}

また,t=tanx2t=\tan\dfrac{x}{2}xx で微分すると,

dtdx=12cos2x2=12(1+t2)\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(1+t^2)

実際に積分を行う

1sinxdx=1+t22t21+t2dt=logt+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx=\displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{2t}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ =\log |t|+C

=logtanx2+C=\log |\tan\dfrac{x}{2}|+C

1cosxdx=1+t21t221+t2dt=(11t+11+t)dt\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx=\displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{1-t^2}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ =\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)dt

=log1+tanx21tanx2+C=\log \left|\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right|+C

方法1と方法2の結果を比べる

方法1と方法2の答えは一見異なったように見えますが,答えは一致しているはずです。

実際,三角関数の倍角の公式などを使って,以下の関係式を導くことができます:

1cosx1+cosx=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=(tanx2)2(\tan\dfrac{x}{2})^2

1+sinx1sinx=\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=(1+tanx21tanx2)2\left(\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right)^2

一つの問題を異なった方法で解き,一見同じだとわからない2つの解を得ることで,関係式を見つけることができました!

方法3

追記:こんな方法もあります(読者の方に教えていただきました)!

dxsinx=dx2sinx2cosx2=dx2cos2x2tanx2=logtanx2+C\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sin x}\\ =\displaystyle\int\dfrac{dx}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\\ =\displaystyle\int\dfrac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2}}\\ =\log |\tan\dfrac{x}{2}|+C

また,cosx=sin(xπ2)\cos x=-\sin (x-\frac{\pi}{2}) に注意すると,

dxcosx=logtan(x2π4)+C\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos x}=-\log\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C

sec、cosec、cot を用いた表現

secx=1cosx\sec x=\dfrac{1}{\cos x} , cosecx=1sinx\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x} に注意すると,以下のように表すこともできます。

参考:三角関数sec, cosec, cotと記号の意味

cosecxdx=logcosecx+cotx+C\displaystyle\int \mathrm{cosec}\:xdx=-\log|\mathrm{cosec}\:x+\mathrm{cot}\:x|+C

secxdx=logsecx+tanx+C\displaystyle\int \mathrm{sec}\:xdx=\log|\mathrm{sec}\:x+\mathrm{tan}\:x|+C

上の表し方が冒頭の公式と同じであることは,以下のように確認できます:

logcosecx+cotx=log(1+cosxsinx)=12logsin2x(1+cosx)2=12log1cosx1+cosx-\log|\mathrm{cosec}\:x+\mathrm{cot}\:x|\\ =-\log\left(\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}

logsecx+tanx=log(1+sinxcosx)=12log(1+sinx)21sin2x=12log1+sinx1sinx\log|\mathrm{sec}\:x+\mathrm{tan}\:x|\\ =\log\left(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2x}\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}

同じ不定積分なのに,いろいろな見た目の表し方があって面白いですね。

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