サイン分の1，コサイン分の1の積分

方法1：部分分数分解を使った積分

サイン分の1の積分

被積分関数の分母と分子に $\sin x$ をかけて，部分分数分解します。

$\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\sin^2 x}\\ =\dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}\\ =\dfrac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right)$

ここで，公式 $\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\log | f(x) |+C$ を用いて上の式を積分します：

コサイン分の1の積分

こちらも同様の式変形をします：

$\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{\cos^2 x}\\ =\dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}\\ =\dfrac{\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\right)$

方法1はおもしろいですが，やり方を知らないと思いつくのは難しいです。

方法2：有名な置換積分を用いる方法

実は，$\sin x, \cos x$ の有理式に対しては，万能な方法があります。すなわち，$\tan \dfrac{x}{2}=t$ と置換すれば，手間はかかりますが，必ず積分できます。

積分計算の準備

$\tan \dfrac{x}{2}=t$ とおくと，$\sin x, \cos x$ は $t$ を用いて以下のように表すことができます。

$\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ =2\tan\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\ =\dfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}-1\\ =\dfrac{2}{1+t^2}-1\\ =\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

また，$t=\tan\dfrac{x}{2}$ を $x$ で微分すると，

$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}(1+t^2)$

実際に積分を行う

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx=\displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{2t}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ =\log |t|+C$

$=\log |\tan\dfrac{x}{2}|+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx=\displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{1-t^2}\dfrac{2}{1+t^2}dt\\ =\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)dt$

$=\log \left|\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right|+C$

方法1と方法2の結果を比べる

方法1と方法2の答えは一見異なったように見えますが，答えは一致しているはずです。

実際，三角関数の倍角の公式などを使って，以下の関係式を導くことができます：

$\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=$$(\tan\dfrac{x}{2})^2$

$\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=$$\left(\dfrac{1+\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan\dfrac{x}{2}}\right)^2$

一つの問題を異なった方法で解き，一見同じだとわからない2つの解を得ることで，関係式を見つけることができました！

方法3

追記：こんな方法もあります（読者の方に教えていただきました）！

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sin x}\\ =\displaystyle\int\dfrac{dx}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}\\ =\displaystyle\int\dfrac{dx}{2\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2}}\\ =\log |\tan\dfrac{x}{2}|+C$

また，$\cos x=-\sin (x-\frac{\pi}{2})$ に注意すると，

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\cos x}=-\log\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C$

sec、cosec、cot を用いた表現

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ , $\mathrm{cosec} x=\dfrac{1}{\sin x}$ に注意すると，以下のように表すこともできます。

参考：三角関数sec, cosec, cotと記号の意味

$\displaystyle\int \mathrm{cosec}\:xdx=-\log|\mathrm{cosec}\:x+\mathrm{cot}\:x|+C$

$\displaystyle\int \mathrm{sec}\:xdx=\log|\mathrm{sec}\:x+\mathrm{tan}\:x|+C$

上の表し方が冒頭の公式と同じであることは，以下のように確認できます：

$-\log|\mathrm{cosec}\:x+\mathrm{cot}\:x|\\ =-\log\left(\dfrac{1+\cos x}{\sin x}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sin^2x}{(1+\cos x)^2}\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$

$\log|\mathrm{sec}\:x+\mathrm{tan}\:x|\\ =\log\left(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2x}\\ =\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}$

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