等周問題に関連する高校数学の問題

まずは，高校数学の基本的な問題から始めてみます。

これを証明してみましょう。

※相加相乗平均の不等式を使って，

$$\begin{aligned} x+(L-x) &\geq 2\sqrt{x(L-x)}\\ L &\geq 2\sqrt{S} \end{aligned}$$

（等号成立条件は $x=L-x$ ）

とすることもできます。

ちなみに，辺の長さの和が一定である直方体の中で，体積が最大になるものは立方体になることも分かります（→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT90で2通りの証明を解説しています）。

次はもう少し難しいです。

証明方法はいくつかありますが，ここではヘロンの公式を使ってみます。

性質1の拡張です。これも，ヘロンの公式の四角形版（※ブレートシュナイダーの公式）を認めれば，三角形の場合と同様に相加相乗平均の不等式を使って証明できます。

※ブレートシュナイダーの公式によると，面積は

$$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}$$

ただし，$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ ，$\theta$ は向かい合う2つの角の和。

周の長さが一定である $n$ 角形の中で，面積が最大のものは正 $n$ 角形であることが知られています。性質1や性質3の拡張です。厳密な証明は少し大変なのでここではしません。

ここでは， 周の長さが $L$ で一定である正 $n$ 角形の面積 $S(n)$ は，$n$ に依存してどう変わるかを考えます。

正 $n$ 角形は，底辺が $\dfrac{L}{n}$ で高さが $\dfrac{L}{2n}\div\tan\dfrac{\pi}{n}$ である三角形 $n$ 個の集まりとみなせるので，

$$\begin{aligned} S(n)&=\dfrac{L^2}{4n}\dfrac{1}{\tan\frac{\pi}{n}}\\ &=\dfrac{L^2}{4\pi}\dfrac{\frac{\pi}{n}}{\tan\frac{\pi}{n}} \end{aligned}$$

となります。これより，

• $S(n)$ は $n$ に関して単調増加（微分すると分かります）

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S(n)=\dfrac{L^2}{4\pi}$

であることが分かります。

一般の場合の証明は大変です。

（閉曲線が微分可能な場合に限定した）証明が等周問題の下の方にあります。