加比の理と傾きによる証明

更新日時 2021/03/07
加比の理(等式バージョン)

ba=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c} のとき,ba=b+da+c=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{d}{c}

加比の理のいろいろなバージョン,傾きによる簡単な理解を解説します。

目次
  • 加比の理の例と証明

  • 加比の理のいろいろなバージョン

  • 傾きによる証明

  • 不等式バージョン

加比の理の例と証明

加比の理の例です。

23=69\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{9} です。分母同士・分子同士を足し算した 2+63+9=812\dfrac{2+6}{3+9}=\dfrac{8}{12} も同じ値になります。

加比の理の証明は簡単です。

証明

ba=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c} のとき,その値を kk とおく。b=ak,d=ckb=ak,d=ck である。このとき,

b+da+c=ak+cka+c=k\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{ak+ck}{a+c}=k となり同じ値になる。

加比の理のいろいろなバージョン

  • 加比の理は以下のように書かれることもあります:
    a:b=c:da:b=c:d のとき a:b=a+c:b+d=c:da:b=a+c:b+d=c:d

2:3=6:92:3=6:9 なので,2:3=8:12=6:92:3=8:12=6:9

  • 定数倍バージョン: ba=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c} のとき,00 でない任意の p,qp,q に対して pbpa=qdqc\dfrac{pb}{pa}=\dfrac{qd}{qc} なので,これに冒頭の公式を用いると以下になります:
    ba=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c} のとき,ba=bp+dqap+cq=dc\dfrac{b}{a}=\dfrac{bp+dq}{ap+cq}=\dfrac{d}{c}

  • 比の項数を nn 個にしたバージョンもあります。
    b1a1=b2a2==bnan\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\cdots =\dfrac{b_n}{a_n} のとき,
    b1+b2++bna1+a2++an\dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{a_1+a_2+\cdots +a_n} もその値と等しい。

加比の理のすべてのバージョンを覚える必要はありません。「分数は直線の傾きに変換する」というテクニックを使えば全て簡単に理解・導出できます。

傾きによる証明

ba\dfrac{b}{a}xyxy 平面において原点と (a,b)(a,b) を通る直線の傾きであるという事実を使うことで加比の理は図形的に理解できます。

証明

加比の理の導出

(a,b)(a,b) と原点を通る直線の傾きと

(c,d)(c,d) と原点を通る直線の傾きが等しいとき,

その二本の直線は一致する。

そして,(a+c,b+d)(a+c,b+d) もその直線上にあることは図形的に分かる。よって,b+da+c\dfrac{b+d}{a+c} もその傾きと一致する。

このように傾きで考えることで他のバージョンも証明できます。 nn 項の場合は帰納法でも証明できますが,傾きを考えれば一発です。

不等式バージョン

  • 加比の理には不等式バージョンもあります。
    ba<dc\dfrac{b}{a} <\dfrac{d}{c} のとき ba<b+da+c<dc\dfrac{b}{a} <\dfrac{b+d}{a+c} <\dfrac{d}{c}

  • nn 項の不等式バージョンもあります。

二項の場合の不等式バージョンを証明しておきます。

証明

加比の理と傾き

(a+c,b+d)(a+c,b+d)(a,b)(a,b)(c,d)(c,d),原点は平行四辺形をなす。

よって,赤の傾き <青の傾きとなるとき,

赤の傾き <緑の傾き <青の傾き

となることが図形的に分かる。

加比の理,傾きを使った考え方の応用としては

などがあります。

私は不等式バージョンの方が好きです。