第一余弦定理とその３通りの証明

$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とおく。

• $H$ が線分 $BC$ 上にある場合（$H$ が $B$ や $C$ と重なる場合も含む）
  $a=CH+BH=b\cos C+c\cos B$

• $H$ が頂点 $B$ に関して $C$ と反対側にある場合
  $\cos B <0$ に注意すると，
  $a=CH-BH=b\cos C+c\cos B$

いずれの場合も第一余弦定理は成立する。

第二余弦定理より，

$b\cos C+c\cos B\\ =b\cdot\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\\ =\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2a}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2a}\\ =\dfrac{2a^2}{2a}\\ =a$

正弦定理より，$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b\cos C}{\sin B\cos C}=\dfrac{c\cos B}{\sin C\cos B}$

ここで，

$\dfrac{q}{p}=\dfrac{s}{r}$ のとき $\dfrac{q}{p}=\dfrac{q+s}{p+r}$

に注意すると（→加比の理と傾きによる証明），

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b\cos C+c\cos B}{\sin B\cos C+\sin C\cos B}\:(※)$

また，加法定理より右辺の分母は $\sin (B+C)=\sin(180^{\circ}-A)=\sin A$ なので，

$(※)$ の両辺の分母は等しい。よって，$a=b\cos C+c\cos B$ を得る。