正接定理とその証明

正弦定理より $a=\dfrac{\sin A}{\sin B}b$

これを用いて正接定理の右辺を変形する：

$$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{a+b} &=\dfrac{\frac{\sin A}{\sin B}b-b}{\frac{\sin A}{\sin B}b+b}\\ &=\dfrac{\sin A-\sin B}{\sin A+\sin B} \end{aligned}$$

ここで，分母分子にそれぞれ三角関数の和積公式を適用すると，

$$\begin{aligned} &\dfrac{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}\\ &=\dfrac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}} \end{aligned}$$

となり正接定理の左辺と一致する。

正弦定理より，$\dfrac{a}{\sin 105^{\circ}}=\dfrac{1}{\sin 15^{\circ}}$

ここで，$\sin 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ，$\sin 105^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

（加法定理からも分かるし，値を覚えておくのもオススメ→覚えておくと便利な三角比の値～15°の三角比）より，

$$\begin{aligned} a&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\ &=\dfrac{1}{6-2} (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2\\ &=2+\sqrt{3} \end{aligned}$$

正接定理より，$\dfrac{\tan 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}=\dfrac{a-1}{a+1}$

よって，$\dfrac{1}{\sqrt{3}}(a+1)=a-1$

$$\begin{aligned} a&=\dfrac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\ &=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}\\ &=2+\sqrt{3} \end{aligned}$$